Термодинамические основы термоупругости
Содержание
Введение
1 Термодинамические основы термоупругости
1.1 Термоупругость
1.2 Построение задачи термоупругости
1.3 Виды задач: связанная и несвязанная
2 Модель термоупругой среды
2.1 Понятие модели сплошной среды: простые и сложные
2.2 Постановка задач в механике сплошных сред
3 Линейная термоупругая сплошная среда
3.1 Классическая термоупругость
3.2 Термоупругая среда с внутренними параметрами состояния
3.3 Тепловой удар
3.4 Плоские гармонические термоупругие волны расширения в неограниченной среде
3.5 Задача отражения преломления термоупругих волн в матричной формулировке. Коэффициенты отражения преломления
Заключение
Список использованных источников
Введение
В последнее время теория термоупругости получила существенное развитие в связи с важными проблемами, возникающими при разработке новых конструкций паровых и газовых турбин, реактивных и ракетных двигателей, высокоскоростных самолетов, ядерных реакторов и др. Элементы этих конструкций работают в условиях неравномерного нестационарного нагрева, при котором изменяются физико-механические свойства материалов и возникают градиенты температуры, сопровождающиеся неодинаковым тепловым расширением частей элементов.
Неравномерное тепловое расширение в общем случае не может происходить свободно в сплошном теле; оно вызывает тепловые (термические, температурные) напряжения. Знание величины и характера действия тепловых напряжений необходимо для всестороннего анализа прочности конструкции.
Тепловые напряжения сами по себе и в сочетании с механическими напряжениями от внешних сил могут вызвать появление трещин и разрушение конструкции из материала с повышенной хрупкостью. Некоторые материалы при быстром возникновении напряжений, обусловленном действием резко нестационарного температурного поля, становятся хрупкими и не выдерживают теплового удара. Повторное действие тепловых напряжений приводит к термоусталостному разрушению элементов конструкции. Действие тепловых напряжений может вызвать значительную пластическую деформацию, ведущую к полному или прогрессирующему разрушению конструкции, термовыпучивание тонкостенной конструкции и т. п.
Исследования по термоупругости сначала стимулировались задачами о термоупругих напряжениях в элементах конструкций. Они проводились на основе теории, разработанной Дюамелем (1838) и Нейманом (1841), которые исходили из следующего предположения: полная деформация является суммой упругой деформации, связанной с напряжениями обычными соотношениями, и чисто теплового расширения, соответствующего известному из классической теории теплопроводности температурному полю.
С принципиальной точки зрения теория Дюамеля — Неймана [1], [2] для нестационарных тепловых и механических воздействий оказалась ограниченной: она не позволяет строго описать движение упругого тела, связанное с его тепловым состоянием. При определенных условиях нестационарный нагрев сопровождается динамическими эффектами в конструкции.
В общем случае изменение температуры тела происходит не только вследствие подвода тепла от внешних источников, но и в результате самого процесса деформирования. При деформировании тела от механических или тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает так называемый эффект связанности, обусловленный взаимодействием полей деформации и температуры. Он проявляется в образовании и движении тепловых потоков внутри тела, возникновении связанных упругих и тепловых волн, термоупругом рассеянии энергии и т. п.
Последовательное рассмотрение процессов упругого деформирования и теплопроводности в их взаимосвязи возможно только на основе термодинамических соображений. Томсон (1855) [3] впервые применил основные законы термодинамики для изучения свойств упругого тела. Ряд исследователей Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц (1953) [4] и др. с помощью методов классической термодинамики получили связанные уравнения термоупругости. Однако в рамках классической термодинамики строгий анализ справедлив лишь для изотермического и адиабатического обратимых процессов деформирования. Реальный процесс деформирования, неразрывно связанный с необратимым процессом теплопроводности, является в общем случае также необратимым. Термодинамика необратимых процессов, разработанная в последние годы, позволила более строго поставить задачу о необратимом процессе деформирования и дать единую трактовку механических и тепловых процессов, нашедшую отражение в работах Био (1956), Чедвика (1960), Боли и Уэйнера (I960) и др. В связи с этим более четко определилась теория термоупругости, обобщающая классическую теорию упругости и теорию теплопроводности. Она охватывает следующие явления: перенос тепла теплопроводностью в теле при стационарном и нестационарном теплообмене между ним и внешней средой; термоупругие напряжения, вызванные градиентами температуры; динамические эффекты при резко нестационарных процессах нагрева и, в частности, термоупругие колебания тонкостенных конструкций при тепловом ударе; термомеханические эффекты, обусловленные взаимодействием полей деформации и температуры.
Сановное положение термодинамики необратимых процессов, вытекающее из предположения о локальном термодинамическом равновесии, заключается в том, что первый и второй законы классической термодинамики справедливы и для локально равновесных макроскопических частей системы. Для математического выражения второго закона термодинамики в случае твердых деформируемых тел, состояние которых определяется большим числом независимых переменных, удобной является формулировка, разработанная Н.Н. Шиллером (1897—1901) [5], Каратеодори (1909) [6] и Т.А. Афанасьевой-Эренфест (1925—1928) [7]. В этой формулировке устанавливается общий эмпирический принцип о невозможности определенных процессов — принцип адиабатической недостижимости. Принципы локального термодинамического равновесия и адиабатической недостижимости позволили использовать разработанный Гиббсом (1875—1878) метод термодинамических функций для вывода соотношений между напряжениями и деформациями, выражений для свободной энергии, внутренней энергии, энтропии и связанного уравнения теплопроводности.
В теории термоупругости обычно накладывается ограничение на величину термического возмущения: приращение температуры предполагается малым по сравнению с начальной абсолютной температурой. Снятие этого ограничения не нарушает предположения о малости деформаций, но приводит к появлению нелинейных членов в связанных уравнениях термоупругости. Возможно построение единой теории термоупругости без указанного ограничения в рамках предположения о малости деформаций, учитывающей зависимость упругих и термических коэффициентов от температуры. В общем случае она является нелинейной теорией связанной термоупругости и в качестве частных случаев охватывает как линейную теорию связанной термоупругости при малом термическом возмущении, так и теорию несвязанной термоупругости при большом термическом возмущении, использующую линейные уравнения движения и нелинейное уравнение теплопроводности.
При исследовании динамических задач термоупругости учет связанности полей деформации и температуры дает возможность выявить новые качественные особенности протекания процесса деформирования. Анализ сравнительно простого решения одномерной задачи о распространении плоских гармонических термоупругих волн в неограниченном теле позволяет правильно понять основные черты термоупругих явлений при разных частотах волн и параметрах связанности материала. В качестве основных граничных связанных задач термоупругости следует отметить двумерные задачи о распространении плоских термоупругих волн вдоль поверхности полупространства и продольных термоупругих волн в длинном цилиндре.
Построение решений связанных задач термоупругости для тел конечных размеров вызывает значительные математические трудности. Большой интерес поэтому представляют вариационные принципы связанной термоупругости, и в частности вариационный принцип Био, позволяющие развить приближенные методы решения связанных задач динамической теории упругости и нестационарной теплопроводности.
Все выше сказанное доказывает актуальность и ценность темы термоупругости и изучения ее моделей.
Математические модели и методы термомеханики. В математических моделях термомеханики рассматривают различные способы распространения тепла в сплошных средах. Считается, что распространение тепла может проходить за счет теплопроводности (тепло передается через само вещество), конвекции (тепло передается за счет относительного движения частиц нагретого тела) и излучения (перенос тепла осуществляется за счет электромагнитного излучения). Математические модели теплопроводности были впервые разработаны в XIX в. в работах С. Duhamel и G. Lame [8]. Систематическое изложение методов теплопроводности дано в работах А. В. Лыкова [9], Г. Карслоу, Д. Егеря [10]. Тепло за счет теплопроводности распространяется при наличии распределенных и точечных источников и стоков тепла в теле. Распространение тепла всегда сопровождается также возникновением в теле напряжений, деформаций и, быть может, электромагнитных полей. Исследованию напряженно-деформированного состояния тел с учетом различных связей между напряжениями, деформациями и температурой, а также электромагнитными полями, и составляет основу современных моделей термомеханики. Например, предложены математические модели, в которых отражены зависимость температуры от времени, от теплофизических постоянных материала, различных форм взаимодействия полей температур и деформаций, связи тепловых, упругих и электромагнитных полей, способа задания температурных полей и др. Разработаны математические модели решения задач. Коротко остановимся на некоторых из этих моделей и методов.
Модели термомеханики без учета электромагнитных полей. Основные законы термодинамики для изучения свойств термоупругого тела впервые применил Томсон, а затем развили Н.Н. Шиллер [5], Каратеодори, Т.А. [6] Афанасьева-Эренфест [7]и другие. В этом случае модель получалась динамической и связанной, т.к. в уравнении теплопроводности и уравнениях движения учитывались слагаемые деформационного нагрева и инерционные члены.
Среди работ, посвященных решению связанных задач термоупругости, отметим работы В. Новацкого [11], В.Г. Карнаухова [12], О.П. Червинко, И.К. Сенченкова, Е.В. Доли [13], Л.А. Фильштинского, Ю.В. Сиренко [14] и др.
Термоупругое состояние является следствием уже распределенных температурных полей. Представление общего решения такой задачи в практически удобной форме было предложено в работах П.Ф. Папковича [15], [16]. При этом решение однородного уравнения для вектора перемещения содержит вектор и скаляр, являющиеся произвольными, а частное решение соответствующего неоднородного уравнения, отвечающее уже определенному температурному полю, определяется через скалярную функцию, получившую название термоупругого потенциала перемещений. Первое систематическое изложение теории несвязанной термоупругости для изотропного тела было дано Н.Н. Лебедевым [17], для анизотропного тела И.А. Прусовым [18], А.И. Уздалевым [19].
