В линейной теории термоупругости считается, что максимальное изменение температуры мало по отношению к начальной абсолютной температуре. Случай больших изменений температуры в рамках предположения о малости деформации приводит к необходимости учета нелинейных членов в связанных уравнениях термоупругости, а также зависимости тепловых и упругих свойств от температуры.
В рамках предположения о малости деформаций построены модели теории теплопроводности и термоупругости, учитывающие зависимость тепловых и упругих свойств материала от температуры.
Особенно широкое развитие получили теории теплопроводности и термоупругости в случае изотропных пластинок и оболочек, ослабленных отверстиями и трещинами. Для решения таких задач использовались методы комплексных потенциалов, сингулярных интегральных уравнений, функций Грина, малого параметра, дисторсии, интегральных преобразований, асимптотические методы, метод конечных элементов. Наиболее удобными в использовании оказались методы комплексных потенциалов.
Широкие исследования термоупругого состояния были выполнены для анизотропных пластинок, тонких плит и оболочек. Основываясь на исследованиях, [20] А.И. Уздалев для решения плоских задач теплопроводности и термоупругости ввел обобщенные комплексные потенциалы термоупругости, позволившие решить различные задачи для односвязных областей. С использованием метода линейного сопряжения решены некоторые задачи термоупругости для некоторых классов анизотропных материалов. Общий подход к построению комплексных потенциалов и решения задач термоупругости в случае многосвязных пластинок и плит был предложен С.А. Калоеровым и А.С. Космодамианским [21], ими был решен ряд задач, когда на контурах отверстий задавались значения температуры, во внутренних точках действуют сосредоточенные источники тепла.
С использованием методов интегральных преобразований в некоторых работах Р.М. Кушнира, Т.М. Николишина [22], В.А Осадчука, В.П. Шевченко, А.С. Гольцева [23], были решены задачи термоупругости для ортотропных оболочек и пластин.
Достаточно много исследований термоупругого состояния проведено и для термовязкоупругих сред. В э той области можно отметить работы А.А. Ильюшина, Б.Е. Победри [25], В.Г. Карнаухова, И.К. Сенченкова, Б.П. Гуменюка [26], В.Г. Карнаухова И.Ф. Киричок [27], Ю.Н. Шевченко, Ю.Г. Савченко [28]. Разработке теории и методов расчета задач термопластичности посвящены работы Ю.Н. Шевченко [29 – 31].
Особое внимание в задачах термомеханики уделяется способу задания тепловой нагрузки и ее моделированию при решении конкретных задач. В этой области проведен ряд исследований, в которых учитывались различные формы моделирования тепловой нагрузки: задание значений температуры и плотности потоков тепла на границе, сосредоточенных источников тепла, однородных потоков тепла на бесконечности. Сосредоточенный источник тепла, как правило, рассматривается как предельный случай задания на контуре кругового отверстия потока тепла постоянной плотности, когда контур стягивается в точку. Обзору основных моделей и методов термоупругости посвящены статьи В.Г. Карнаухова [32], А.Д. Коваленко [33], [34], В.В. Мелешко [35], T.R. Tauchert [36].
Модели термомеханики с учетом электромагнитных полей. Изучением термомеханического поведения деформируемых твердых тел с учетом электромагнитных полей, связанных с механическими и тепловыми процессами в теле, занимается механика связанных полей. Основные положения моделей механики сплошной среды, учитывающие взаимодействия полей различной физической природы, изложены в работах С.А. Амбарцумяна [37], А.Н. Гузя, Ф. Г. Махорта [38], А.А. Ильюшина [39], Л.Д. Ландау, Е.М. Лившица [4], Ж. Можена, В. Новацкого [40], В.З. Партона, Б.А. Кудрявцева[41], H.A. Haus [42] и др. При построении таких моделей механики деформируемого твердого тела влияние электромагнитного поля на термомеханическое поведение тела реализуется через пондеромоторные силы и их моменты, а также через источники дополнительной энергии, возникающие при взаимодействии тела с внешним электромагнитным полем. При этом формулируются макроскопические уравнения электродинамики Максвелла, описывающие поле во внешней среде и в теле с учетом характеристик поля, таких как токи проводимости, поляризация и намагничивание. На сегодняшний день существуют несколько подходов к получению макроскопических уравнений электродинамики тел, способных к поляризации и намагничиванию, и определению характеристик электромагнитного поля в теле и энергии в нем.
Наиболее распространенными в литературе такими подходами являются статистическая модель, модель Лоренца [43], двудипольная модель и модель Максвелла – Минковского.
В статистической модели [45] путем статистического осреднения в электромагнитных полей и уравнений электродинамики на микроуровне, вызванные движением точечных носителей зарядов (электроны, ядра) в рамках стабильных структур (атомы, молекулы, ионы), определяются макроскопические поля и уравнения Максвелла, причем соотношения для поляризации и намагнивания на макроуровне получаются как средние статистические от магнитного и дипольного моментов в теле.
В модели Лоренца [43], [44] тело считается состоящим из положительно и отрицательно электрически заряженных элементарных частиц, движущихся в вакууме под действием их собственных или внешних полей. В этом случае происходит перераспределение микрозарядов и микротоков в сплошной среде, возникают микроскопические электромагнитные поля. Макроскопические уравнения и поля получаются путем пространственно-временного осреднения уравнений и полей на микроуровне, намагниченность и поляризация понимаются как средние плотности магнитного и дипольного моментов в теле.
При рассмотрении тела в двудипольной модели считается: оно состоит из движущихся материальных частиц-носителей электрических, магнитных зарядов, свободных зарядов и токов, создающие электромагнитное поле в среде. При этом поляризация и намагниченность моделируются электрическими и магнитными диполями, состоящие из пары положительных и отрицательных электрических и магнитных зарядов соответственно. На основе такого представления формулируется макроскопическая система уравнений электродинамики. В этой модели характеристики поля выводятся из предположения, что на каждый заряд в поле действует сила Лоренца, на диполь – момент таких сил.
В модели Максвелла – Минковского в отличии от рассмотренных выше моделей, в которых макроскопические электромагнитные поля и уравнения электродинамики получается путем осреднения полей и уравнений на микро-уровне, уравнения электродинамики для движущегося тела получаются из уравнений Максвелла для неподвижного тела, исходя из предположения Лоренц – инвариантности уравнений электродинамики. Выражения для характеристик поля и энергии получаются из закона сохранения для системы взаимодействия электромагнитного поля и среды, предполагая замкнутость механической и незамкнутость электрических подсистем.
Отметим также, что в литературе предложены и более сложные подходы, учитывающие не только заряды, а и спины, магнитные моменты. При этом, кроме известных электромагнитных сил, вводятся еще и обменные, спин-орбитальные, спин-спиновые силы.
На основе описанных моделей с использованием локально-равновесной или рациональной термодинамики предложены некоторые обобщенные термодинамические модели, описывающие упругую, вязкоупругую, пластическую деформацию тел, способных к поляризации и намагничиванию и обобщающие классические модели линейной термоупругости, а также термовязкоупругости, термовязкопластичности. Кроме уравнения Максвелла, эти модели учитывают различные теплофизические свойства материалов тел, а именно: электропроводимость, пьезоэффект, пироэффект и др.
Исследования термоупругого состояния. Двумерные и плоские задачи. В настоящее время наиболее полно разработаны плоские задачи теплопроводности и термоупругости изотропных и анизотропных сред. Разработке подходов к их решению посвящены монографии Г.С. Кита, М.Г. Кривцуна [46], А.Д. Коваленко [47] , А.С. Космодамианского, С.А. Калоерова [21], Н.Н. Лебедева [17], И.А. Прусова [18], Г.Н. Савина [48], А.И. Уздалева [19]и др. С использованием этих методов решен ряд задач для односвязных и многосвязных сред.
Проведены многочисленные исследования термоупругого состояния изотропной пластинки с отверстием или трещиной. При этом в качестве тепловых воздействий выступали сосредоточенные источники тепла или однородный поток тепла на бесконечности. Много исследований проведено и для многосвязных сред. Например, известны исследования для изотропного кругового диска с отверстиями, включениями или трещинами при действии сосредоточенных источников тепла и разности температур. Решено также множество задач термоупругости для бесконечных изотропных тел с двумя и конечным числом отверстий. В работах решены двоякопериодические задачи теплопроводности и термоупругости для пластинки в случае задания на контурах отверстий постоянной одинаковой температуры, на поверхности пластинки постоянного потока тепла.
В работах С.А. Калоерова, Ю.С. Антонова [49] – [51] предложена методика решения задач теплопроводности и термоупругости для конечных и бесконечных многосвязных анизотропных пластинок c отверстиями и трещинами. Решение построено на использовании теории функции комплексного переменного и удовлетворении граничным условиям методом наименьших квадратов.
1 Термодинамические основы термоупругости
1.1 Термоупругость
Основное уравнение термоупругости. При термическом расширении изотропное тело деформируется таким образом, что компоненты деформации отнесенные к системе прямоугольных осей х1 x2 x3 определяются выражением (1.1.1)
, (1.1.1)
Допускается, что достаточно мало для того, чтобы термические свойства тела оставались постоянными на том отрезке времени, который нас интересует. Суммарная деформация тела выражается через компоненты вектора перемещения u1 следующим уравнением:
(1.1.2)
где обозначает частную производную. Эта суммарная деформация состоит из термической деформации и упругой деформации, компоненты которой определяются соотношением (1.1.1)
, (1.1.3)
где τij — компоненты тензора напряжений; величина
θ = τij (1.1.4)
является суммой главных напряжений; λ и μ — упругие постоянные Ламе для тела. Подставляя соотношения (1.1.1) — (1.1.3) — в уравнение
получим тензорное уравнение
, (1.1.5)
Решая это тензорное уравнение относительно компонентов тензора напряжений, найдем
(1.1.6)
где
(1.1.7)
обозначает расширение тела и
γ = α(3λ + 2μ). (1.1.8)
Физический закон, выраженный тензорным соотношением (1.1.6), называется законом Дюамеля — Неймана
