В работе, связанная задача термоупругости рассматривается при малом термическом возмущении, т. е. при << 1
В этом случае связанная задача становится линейной и при формулировке ее в перемещениях сводится к решению системы уравнений (1.2.12) и (1.2.13). Представления общих решений этой системы обобщают представления общих решений уравнения (1.3.30), описывающего динамическую задачу термоупругости. Известные представления решения уравнений классической теории упругости Б. Г. Галеркина и П. Ф. Папковича обобщаются на случай связанной задачи термоупругости. Применение прямых методов для решения связанных задач термоупругости в общем случае встречает большие математические затруднения; перспективной является разработка приближенных методов решения связанных задач термоупругости на основе вариационных принципов, аналогичных таковым для статических и квазистатических задач термоупругости.
Представления общего решения. Связанная задача термоупругости при малом термическом возмущении описывается системой уравнений (1.2.12) и (1.2.13) при начальных и граничных условиях.
При объемной силе
= grad П + rot (1.3.1)
известно следующее представление общего решения уравнений (1.2.12) и (1.2.13):
и =grad + rot (1.3.2)
□,
в котором скалярная Ф и векторная функции удовлетворяют уравнениям
□□; ( 1.3.3)
□ (1.3.4) где
□= □= (n= 1,2); (1.3.5)
ε — параметр связанности, имеющий значение;
с1 и с2 — скорость распространения упругой волны соответственно расширения и искажения (см. выражения (1.3.6)). При ε = 0 и П = 0 уравнение (1.3.3) на основании уравнения (1.3.31) переходит в (1.3.7)
, (1.3.6)
□ (1.3.7)
а при = 0 уравнение (1.3.4) переходит в уравнение (1.3.8) динамической задачи термоупругости.
□ (1.3.8)
Найдено также обобщение известного представления решения уравнений классической теории упругости Б. Г. Галеркина [52] (на случай связанной задачи термоупругости):
= grad + □ - grad div (1.3.9)
□
где функция и удовлетворяют уравнениям
□□□ div (1.3.10)
□□ (1.3.11)
Как и в динамической задаче термоупругости, представление (1.3.9) при отсутствии объемных сил можно преобразовать к представлению (1.3.2). Действительно, если в представление (1.3.9) и уравнение (1.3.10) внести выражения
,
div (1.3.12)
в которых — частное решение неоднородного уравнения (1.3.11), и - решения уравнений
□, □ (1.3.13)
Ф'— новая скалярная функция, то форма их не изменится, но вместо Ф и в представлении (1.3.9) возникают Ф' и , а в уравнении (1.3.10) Ф' и . На основании второго уравнения (1.3.13) и тождества
grad div=+ rot rot
при подстановке — rot такое представления при = 0, П = 0, X = 0 (отсутствие объемных сил) переходит в представление (1.3.2).
Вводя в представление (1.3.9) и в уравнения (1.3.10) и (1.3.11) новые функции
div, □ (1.3.14)
где r — радиус-вектор, получаем обобщение известного представления П. Ф Папковича на случай связанной задачи термоупругости (1.3.14)
grad grad; (1.3.15)
□,
в котором функция Ф, , В0 удовлетворяют уравнениям
□□□ (1.3.16)
□, □ (1.3.17)
В случае распространения безвихревой волны (волны расширения) и отсутствия объемных сил и источников тепла представление (1.3.2) имеет вид
grad, □, (1.3.18)
где функция удовлетворяет уравнению
﴾□□﴿ = 0 (1.3.19)
Решение для функции Ф ищют в виде
= φ(x, y, z)e (1.3.20)
где р — комплексная постоянная. Подставляя это решение в (1.3.19), для φ получают уравнение
=0. (1.3.21)
которое может быть представлено в виде
, (1.3.22)(9.3.19)
Где
; (1.3.23)
Если предположить, что термоупругая связь отсутствует (ε = 0), то из уравнения (1.3.23) получают
; . (1.3.24)
Следовательно, уравнение (1.3.23) описывает распространение двух видов волн расширения, из которых один, связанный с, близок к чисто упругой волне, а другой, связанный с, сходен по своему характеру с чисто тепловой волной.
На основании уравнений (1.3.20) и (1.3.21) общее решение уравнения (1.3.19) можно представить в виде
(1.3.25)
где удовлетворяет уравнению
j=1,2. (1.3.26)
Таким образом, в рассматриваемом случае общее решение связанной термоупругой задачи на основании представления (1.3.18) и решения (1.3.25) принимает вид
grad (1.3.27)
(1.3.28)
Учитывая, что
div
и принимая во внимание формулу (1.328), получаем на основании соотношения (1.2.2) следующие выражения для напряжений:
(1.3.29)
— символ Кронекера;
ρ — плотность среды, в которой распространяется волна (1.3.26)
Задача термоупругости, описываемая двумя уравнениями:
grad div grad (Т — Т0) — 0 , (1.3.30)
(1.3.31)
называется несвязанной динамической задачей термоупругости, или просто динамической задачей термоупругости.
При существенном приращении температуры Т—Т0 коэффициенты в соотношениях (1.2.2) являются функциями Т, а следовательно, и функциями координат хR и времени t. Помня об этом и выполняя преобразования, аналогичные проведенным в п. 1.3, находим для такой задачи следующие уравнения движения в перемещениях:
. (1.3.32)
Вместо этих трех скалярных уравнений можно записать одно векторное в виде
grad div + 2 grad μ·Пε grad λ div-
(1.3.33)
где grad μ · Пε — скалярное произведение тензора деформации Пε на вектор grad μ.
Если учесть зависимость от температуры, то уравнение тепло проводности становится нелинейным.
2 Модель термоупругой среды
2.1 Понятие модели сплошной среды: простые и сложные
Дифференциальные уравнения и соотношения, выражающие законы сохранения массы, импульса, энергии и второй закон термодинамики нужны для общего случая независимо от того, какими конкретными физико-механическими свойствами обладает деформируемая среда, и в силу этого имеют универсальный характер, т.е. справедливы для любых сред. Однако при попытке математического описания движения какой-либо конкретной деформируемой среды (газообразной, жидкой или твердой) довольно легко установить, что имеющихся в распоряжении универсальных дифференциальных уравнений и соотношений не достаточно для составления замкнутой системы уравнений, которая могла бы послужить основой для последующего нахождения единственного решения и получения количественной информации о характере движения и изменения состояния деформируемой среды. При этом очевидна закономерность: количество входящих в составляемую систему уравнений неизвестных величин (характеристических функций) на 6 единиц больше имеющихся в распоряжении уравнений, где 6 — количество независимых компонент симметричных тензоров напряжений и деформаций. Например, приведенная ниже система уравнений адиабатического движения деформируемой среды включает 20 уравнений (одно уравнение неразрывности (2.1.1), три уравнения движения (2.1.2), одно уравнение энергии (2.1.3), три кинематических соотношения взаимосвязи компонент скорости и перемещения (2.1.4), шесть геометрических соотношений (2.1.5) и шесть кинематических соотношений (2.1.6) и 26 неизвестных характеристических функций (плотность, удельная внутренняя энергия, по три компоненты векторов перемещения и скорости, по шесть независимых компонент симметричных тензоров напряжений, деформаций и скоростей деформаций) [53]:
div υ=0, (2.1.1)
, (2.1.2)
, (2.1.3)
, (2.1.4)
, (2.1.5)
, (2.1.6)
Анализ приведенной системы уравнений показывает, что в ней отсутствуют соотношения, учитывающие реакцию деформируемой среды на процесс деформирования и показывающие, какие внутренние напряжения возникают в ней в ответ на деформации. Подобные соотношения в самом общем виде можно записать как
(2.1.7)
Соотношения вида (2.1.7) называются физическими соотношениями, они определяют специфику той или иной деформируемой среды в отношении оказания сопротивления деформированию и тесно связаны с понятием модели сплошной среды.
Модель сплошной среды — это некоторое идеализированное представление реальной деформируемой среды, учитывающее основные ее свойства сопротивления деформированию и подчиняющееся определенному математическому описанию в виде физических соотношений (2.1.7). Выбор модели сплошной среды для реальной деформируемой среды и соответствующий выбор физических соотношений (2.1.7) позволяет составить замкнутую систему дифференциальных (2.1.1)—(2.1.6) и конечных функциональных (2.1.7) уравнений для математического описания движения и внутреннего состояния исследуемой среды.
Под простыми моделями сплошных сред понимаются идеализированные представления реальных деформируемых сред, учитывающие какое-либо одно из основных механических свойств. К числу простых относятся следующие четыре модели: модель идеальной среды (идеальная жидкость или идеальный газ, не способные оказывать сопротивление формоизменению); модель вязкой жидкости (учитывается лишь свойство вязкости); модель упругой среды (принимается во внимание лишь проявление свойства упругости); модель жесткопластической среды (проявляется только свойство пластичности). Рассмотрим перечисленные выше простые модели сплошных сред, придерживаясь следующей последовательности: определение модели, общие соображения относительно сопротивления деформированию данной среды, определяющие уравнения, физические соотношения, примеры использования данной модели при физико-математическом моделировании и ее термодинамические особенности. Упругая (идеально, или совершенно, упругая) среда — это изотропная сплошная среда, сдвиговое и объемное сопротивления которой линейно зависят от деформаций. В качестве определяющих уравнений для модели упругой среды выступают уравнения, устанавливаемые на основе опытных данных по деформированию твердых тел (металлов и их сплавов, пластмасс и т.п.) при малых деформациях. Этим же обстоятельством определяется область практического использования данной модели сплошной среды.
Так, из экспериментов по всестороннему сжатию твердых тел при малых объемных деформациях устанавливается прямо пропорциональная зависимость среднего напряжения от средней деформации, выражаемая уравнением Бриджмена (2.1.8) и определяющая физическое поведение упругой среды.
