(2.1.8)
В более общем случае, с учетом влияния температуры, физическое поведение упругой среды описывается уравнением Дюамеля — Неймана:
(2.1.9)
К — модуль объемного сжатия;
— коэффициент линейного теплового расширения материала;
Т и — соответственно текущая и начальная температуры материала.
Уравнение Дюамеля — Неймана может быть представлено в более "прозрачном" для понимания виде: , показывающем, что вклад в объемную деформацию при деформировании индивидуальных частиц упругой среды вносят всестороннее сжатие или растяжение и нагрев, при этом влияние фактора нагрева проявляется в зависимости от коэффициента объемного теплового расширения .
Вто же время из экспериментов по кручению тонкостенных металлических труб, в индивидуальных частицах среды реализуется напряженно-деформированное состояние чистого сдвига, устанавливается прямо пропорциональная зависимость касательных напряжений от сдвиговых деформаций, приводящая к выводу о существовании следующей взаимосвязи между девиаторами напряжений деформаций:
(2.1.10)
где G – модуль упругости второго рода (модуль сдвига).
Уравнение (3.21) принимается в качестве определяющего механическое поведение упругой среды. Из уравнения (3.21) следует скалярное определяющее уравнение — прямо пропорциональная зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций:
Из определяющих уравнений (3.12)(или (3.20)) и (3.21) следуют физические соотношения для моделей упругой среды,принимающие форму обобщенного закона Гука. Компоненты девиатора напряжений (см. (3.21)) могут быть выражены через компоненты девиатора деформаций как . Отсюда в случае выражения среднего напряжения σ через среднюю деформацию ε из уравнения Бриджмена (3.12) следуют прямые физические соотношения в виде зависимостей компонент тензора напряжений от компонент тензора деформаций:
(2.1.11)
Обратные физические соотношения (зависимости компонент тензора деформаций от компонент тензора напряжений) получаются аналогичным образам и имеют вид
(2.1.12)
Обобщенный закон Гука описывает все частные проявления упругого поведения деформируемых сред, реализующиеся в простых случаях напряженно-деформированного состояния. Так, для деформированного состояния чистого сдвига (ε12 0,ε11 = ε22 = ε33 = ε13 = ε23 =0) согласно (2.1.12) реализуется напряженное состояние σ12 = 2Gε12,σ11 = σ22 = σ33 = σ13 = σ23 =0 с прямо пропорциональной зависимостью касательных напряжений от сдвиговых деформаций. Деформированному состоянию всестороннего равноосного растяжения или сжатия ε11 = ε22 = ε33 = ε 0, εij = 0 при i j) соответствует такое же напряженное состояние: σ11 = σ22 = σ33 = σ = 3Kε, σ12 = σ13 = σ23 =0.Напряженному состоянию одноосного растяжения (σ11 0, σ22 = σ33 = σ12 = σ13 = σ23 = 0, σ = σ11/3 отвечает трехосное деформированное состояние: εij = 0 при i j и
(2.1.13)
где Е = 18KG/(6K + 2G) — модуль упругости первого рода (модуль Юнга), a v = (ЗК - 2G)/(6K + 2G) — коэффициент Пуассона.
Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v в дополнение к модулю сдвига G и модулю объемного сжатия К являются еще одной парой упругих характеристик, через которые может быть представлен обобщенный закон Гука. Выражая модуль объемного сжатия и модуль сдвига через модуль Юнга и коэффициент Пуассона как
, (2.1.14)
можно получить запись физических соотношений для моделей упругой среды в форме
;
.
Следует отметить, что имеющаяся взаимосвязь между парами упругих характеристик (2.1.14) позволяет ограничиться экспериментальным определением лишь двух из них с последующим расчетом двух других. Наиболее просто определяются из опытов значения модуля Юнга Е (одноосное растяжение образцов) и модуля сдвига G (кручение образцов с реализацией напряженно-деформированного состояния чистого сдвига).
Уравнения (2.1.8), (2.1.10) и (2.1.13) позволяют истолковать физический смысл упругих характеристик G, E, v, К. Как следует из (2.1.10), модуль сдвига G определяет касательные напряжения, возникающие в упругой среде при чистом сдвиге. В соответствии с (2.1.13) модуль Юнга Е определяет продольные деформации, возникающие при одноосном растяжении, а коэффициент Пуассона v — соотношение поперечной и продольной деформаций в этом же случае. Согласно уравнению Бриджмена (2.1.8), модуль объемного сжатия К определяет среднее напряжение в зависимости от объемной деформации в и, напротив, характеризует объемную деформацию, возникающую в частицах упругой среды, когда в них существует давление р = — σ: = Зε = σ/К.
Важным частным случаем модели упругой среды является так называемая несжимаемая упругая среда, объем индивидуальных частиц, которой не изменяется при любом уровне давления (или среднего напряжения). Для такой среды , модуль объемного сжатия К = ∞, а коэффициент Пуассона v = 0,5 в соответствии с (2.1.14). Для реальных же твердых тел, обладающих сжимаемостью и по своим свойствам близких к модели упругой среды, коэффициент Пуассона v = 0,2...0,3.
Термодинамические особенности модели упругой среды определяются тем обстоятельством, что процесс адиабатического деформирования ее частиц является обратимым и в случае снятия нагрузок сопровождается самопроизвольным протеканием в обратном направлении с уменьшением до нуля напряжений и деформаций и возвратом в исходное состояние. Для такой среды отсутствует переход механической работы деформации во внутреннюю тепловую энергию (χ = 0), энтропия индивидуальных частиц может изменяться только за счет теплообмена с окружающими частицами:. Деформирование же упругой среды в адиабатических условиях () имеет изоэнтропический характер dS/dt =0.
Под сложными моделями сплошных сред понимаются модели, в которых учитываются два и более основных механических свойства. К числу таких моделей относятся, например, упругопластическая, вязкоупругая, вязкопластическая, упруговязкопластическая среды. В этом разделе рассматривается одна из сложных моделей — модель упругопластической среды, наиболее широко используемая при математическом моделировании процессов деформирования твердых тел. Модель упругопластической среды соответствует твердым телам (главным образом, металлам и их сплавам), которые при нагружении работают упруго, пока не выполняется некоторое предельное условие, называемое условием пластичности, а при дальнейшем нагружении такой среды в ней развиваются не только упругие, но и пластические деформации.
Для реальных упругопластических сред характерны диаграммы механического поведения (диаграммы деформирования) подобные диаграмме, приведенной на рис. 1, в для мягкой стали (типа стали 10). В ряде случаев диаграммы деформирования реальных металлов могут несколько отличаться от показанной на рис. 1,в в сторону усложнения (например, включать участок нелинейной упругости) или в сторону упрощения (например, для некоторых металлов отсутствует площадка текучести и после упругого участка сразу происходит переход к участку упрочнения) и включать дополнительные характерные точки: в первом случае такой точкой является предел упругости, больший предела пропорциональности, а во втором — условный предел текучести, соответствующий заданному уровню остаточной пластической деформации. Однако при построении модели упругопластической среды, как правило, пренебрегают такими тонкими особенностями и рассматривают идеализированные диаграммы механического поведения, подобные показанным на рис.1. Наиболее часто в качестве таких идеализированных диаграмм механического поведения рассматриваются диаграммы для идеальной упруго-пластической среды, для которой пределы пропорциональности, упругости, текучести и прочности ассоциируются с одним и тем же значением (рис.1,а) и для упругопластической среды с линейным (рис.1,б) или нелинейным (рис. 1, в) упрочнением.
Рисунок 1
Возможными вариантами упрощенных диаграмм механического поведения являются диаграммы идеальной жесткопластической среды (рис.1,г) или жесткопластической среды с упрочнением (рис. 1, д), причем для двух последних случаев характерно отсутствие упругого участка (упругими деформациями по сравнению с пластическими пренебрегают).
Модель упругопластической среды является сложной не только по формальному признаку (принимаются во внимание свойства упругости и пластичности), но и с точки зрения уровня сложности математического описания. Отметим, что в случае малых деформаций (превышающих упругие, но соизмеримых с ними) модель упругопластической среды хорошо описывается деформационной теорией пластичности (теория малых упругопластических деформаций). При больших (конечных) деформациях для описания поведения упругопластических сред более предпочтительна теория пластического течения.
2.2 Постановка задач в механики сплошных сред
Прикладное значение механики сплошных сред заключается в том, что она создает фундамент для физико-математического моделирования процессов взаимодействия деформируемых тел и сред. С помощью формулируемых в механике сплошных сред уравнений и соотношений удается составить замкнутую систему уравнений, решение которых позволяет исследовать поведение деформируемых сред и получать информацию о параметрах их движения и состояния. В настоящее время именно физико-математическое моделирование с позиций механики сплошных сред является наиболее мощным инструментом расчетно-теоретического исследования функционирования различных технических объектов, как существующих, так и проектируемых. В качестве примеров прикладных задач, необходимость решения которых возникает при изучении функционирования газодинамических импульсных устройств, можно указать задачи обтекания тел вращения воздушным потоком (рис. 2, а), проникания тел вращения в плотные и прочные среды (рис. 2, б, в), метания металлических облицовок продуктами детонации взрывчатого вещества (рис. 2, г), схлопывания конических металлических облицовок под действием приложенного давления с формированием кумулятивной струи (рис. 2, д) и т.п.
Однако решению задачи обязательно предшествует весьма важный этап формализации рассматриваемого физического процесса: его описание в виде соответствующей системы
Рисунок 2
уравнений, соотношений и определенных условий, т.е. решению задачи предшествует так называемая постановка задачи или же формулировка физико-математической модели изучаемого процесса взаимодействия деформируемых тел или сред. Далее приведем общие принципы постановки задач механики сплошных сред с различными физико-механическими свойствами и последовательно проанализируем особенности постановки задач механики идеальной и вязкой жидкостей, упругой и упругопластической сред. При этом основное внимание уделим этапам составления замкнутой системы исходных уравнений, получению системы разрешающих уравнений и различных частных ее видов, особенностям задания граничных условий. Постановку задачи механики упругопластической среды рассмотрим в полном объеме на примере процесса проникания металлического тела в металлическую преграду.
