Приріст обумовлений так званим що стимулює випромінюванням . Він пропорційний числу вже наявних фотонів і числу збуджених атомів N . Таким чином :
Приріст = G N n (3.3)
Тут G - коефіцієнт посилення, який може бути отриманий з мікроскопічної теорії . Член, що описує втрати, обумовлений відходом фотонів через торці лазера . Єдине допущення, яке ми приймаємо, - це те, що швидкість відходу пропорційна числу наявних фотонів. Отже
Втрати = 2nc (3.4)c
2c = 1/ t0, де t0 - час життя фотона в лазері .
Тепер слід врахувати одну важливу обставину, яка робить (2.1) нелінійним рівнянням вигляду :
(3.5)
Число збуджених атомів зменшується за рахунок випускання фотонів . Це зменшення DN пропорційно числу наявних в лазері фотонів, оскільки ці фотони постійно примушують атоми повертатися в основний стан .
DN = an (3.6)a
Таким чином, число збуджених атомів рівне
N = N0 - DN (3.7)D
де N0 - число збуджених атомів, підтримуване зовнішньою
накачуванням, у відсутності лазерної генерації.
Підставляючи (3.3) - (3.7) в (3.2), отримуємо основне рівняння наший спрощеній лазерній моделі :
(3.8)
де постійна до дає вираз :
k1 = aG
до = 2 c- GN0 >< 0 (3.9)
Якщо число збуджених атомів N0 (створюваних накачуванням) невелике, то до позитивно, тоді як при достатньо великих N0 до - може стати негативним . Зміна знаку відбувається коли
GN0 = 2c (3.10)c
Ця умова є умова порогу лазерної генерації .
З теорії біфуркації виходить, що при до > 0 лазерної генерації немає, тоді як при до < 0 лазер випускає фотони.
Нижче або вище за поріг лазер працює в здійснено різних режимах .
Вирішимо рівняння (3.8) і проаналізуємо його аналітично :
- це рівняння одномодового лазера .
Запишемо рівняння (3.8) в наступному вигляді :
Розділимо початкове рівняння на n2 .
і введемо нову функцію Z :
1/n = n-1 = Z Þ Z1 = - n-2 отже рівняння прийме вигляд :
перепишемо його в наступному вигляді :
розділимо обидві частини даного рівняння на -1, отримаємо
(3.11)
Рівняння (3.11) - це рівняння Бернуллі, тому зробимо наступну заміну
Z = UV×, де U і V невідомі поки функції n, тоді Z1 = U1 V + U V1 .
Рівняння (3.11), після заміни змінних, приймає вигляд
U1 V + UV1 - до UV = k1
перетворимо, отримаємо
U1 V + U(V1 - до V)= k1 (3.12)
Вирішимо рівняння (3.12)
V1 - до V = 0 ® dV/dt = до V
зробимо розділення змінних
dV/V =k dt ® ln V = до t
результат V = ekt (3.13)
Звідси ми можемо рівняння (3.12) переписати у вигляді :
U1 ekt = k1- це те ж саме, що dU/dt = k1e-kt , dU = k1e -kt dt виразимо звідси U, отримаємо
(3.14)
По рівнянню Бернуллі ми робили заміну Z = U V підставляючи рівняння (3.13) і (3.14) в цю заміну, отримаємо
Раніше вводили функцію Z = n-1 , отже
(3.15)
Початкова умова n0=1/(c-k1/k), з цієї умови ми можемо визначити константу з наступним чином
Підставляючи, знайдену нами константу в рівняння (3.15), отримаємо
(3.16)
Досліджуємо функцію (3.16) при до = 0, до < 0, до > 0 .
При k0 ®; ekt ® 0 ; (ekt - 1)®0, тобто (ekt - 1)×k1/k0®×¥ (невизначеність), розкриємо цю невизначеність за правилом Лопіталя . Цю невизначеність вигляду 0¥ слід привести до вигляду . При цьому, як і завжди при застосуванні правила Лопіталя, по ходу обчислень рекомендується спрощувати вирази, що вийшли, таким чином :
n(k)при k0 ®® 0, отже
Перепишемо (3.16) в наступному вигляді
Лінеарізуєм нелінійне рівняння, отримаємо
ln n = - kt + з Þ
Побудуємо графік для цих умов
Мал. 3.3 До самоорганізації в одномодовому лазері :
крива 1 : до < 0, режим лазерної генерації
крива 2 : до = 0, точка біфуркації, поріг
крива 3 : до > 0, режим лампи.
При до = 0 рівняння (3.8) прийме вигляд
вирішуючи його, отримаємо
(3.8)
За умови ; n(t)= const, функція (3.8) наближається до стаціонарного стану, не залежно від початкового значення n0, але залежно від знаків до і k1 (дивися малюнок 3.3).
Таким чином, функція (3.8) ухвалює стаціонарне рішення
3.3 ДИНАМІКА ПОПУЛЯЦІЇ
Про розповсюдження і чисельність видів була зібрана велика інформація. Макроскопічною характеристикою, що описує популяцію, може бути число особин в популяції . Це число грає роль параметра порядку. Якщо різні види підтримуються загальним харчовим ресурсом, то починається міжвидова боротьба, і тоді застосуємо принцип Дарвіна: виживає найбільш пристосований вигляд. (Не можна не відзначити сильну аналогію, що існує між конкуренцією лазерних мод і міжвидовою боротьбою). Якщо є однотипні харчові ресурси, то стає можливим співіснування видів. Чисельність видів може бути схильна до тимчасових коливань.
ОДИН ВИГЛЯД.
Розглянемо спочатку одну популяцію з числом особин в ній n . За наявності харчових ресурсів А особини розмножуються з швидкістю :
і гинуть з швидкістю :
Тут до і d - деякі коефіцієнти народжуваності і смертності, в загальному випадку залежне від параметрів зовнішнього місця існування. Якби кількість їжі була необмежено, то еволюційне рівняння виглядало б так:
Введемо позначення a = kA - d
Воно було б лінійним і описувало б необмежене експериментальне зростання (при kA > d), або експериментальну загибель (при kA < d) популяції.
Мал. 3.4 Крива 1: Експоненціальне зростання; >a0, kA>d
Крива 2: Експоненціальна загибель; >a0, kA>d.
У загальному випадку, проте, харчові ресурси обмежені, так що швидкість споживання їжі
Разом з тим в загальному випадку можливе відновлення харчових ресурсів з швидкістю :
Тут, звичайно, розглянутий боковий випадок збереження повної кількості органічної речовини
A + n = N = const
N - здатність місця існування підтримувати популяцію.
Тоді з урахуванням A = N - n вийде наступне рівняння еволюції популяції одного вигляду (логістичне рівняння Ферхюльста ) :
(3.17)
Вирішимо рівняння (3.17) аналітично, перепишемо його таким чином
позначимо kN - d = k1
Отримаємо :
Скористаємося табличним інтегралом ,полученное рівняння прийме вигляд :
вирішимо це рівняння, перетворюючи
скоротимо отриманий вираз на до, і перенесемо змінну k1 в праву частину, отримаємо
звідси n(t) ®
Початкові умови :
Звідки
Підставляючи з в рішення, отримаємо рівняння в наступному вигляді
раніше ми означали, що підставляємо і перетворюваний
скоротимо на до - коефіцієнт народжуваності, остаточно отримаємо вирішення рівняння (3.17)
Отже, отримано аналітичне вирішення логістичного рівняння - це рішення указує на те, що зростання популяції зупиняється на деякому кінцевому стаціонарному рівні:
тобто параметр n1 указує висоту плато насичення, до якого прагне n(t) з часом .
Параметр n0 указує початкове значення чисельності одного виду популяції : n0 = n(t0) . Дійсно ,то є n1 - гранична чисельність вигляду в даному місці існування . Інакше кажучи, параметр n1 характеризує ємкість середовища по відношенню до даної популяції . І нарешті, параметр (kN - d) задає крутизну початкового зростання.
Відзначимо, що при малій початковій чисельності n0 (початкове число особини) початкове зростання популяцій буде майже експоненціальним
Мал. 3.5. Логістична крива.
(еволюція популяції одного вигляду)
Вирішення рівняння (3.17) можна представити за допомогою логістичної кривої (мал. 3.5) . Еволюція повністю детермінована . Популяція перестає рости, коли ресурс середовища виявляється вичерпаним.
Самоорганізація - при обмеженому харчовому ресурсі. Підкреслимо, що при описі даної біологічної системи використовують понятійний і фізико-математичний апарат з нелінійної нерівноважної термодинаміки.
Може трапиться, проте, що завжди за подіями, не керованими в рамках моделі, в тому ж середовищі з'явиться, спочатку в малих кількостях, новий вигляд (що характеризуються іншими екологічними параметрами к,N і d) . У зв'язку з такою екологічною флуктуацією виникає питання про структурну стійкість: новий вигляд може або зникнути, або витіснити первинних мешканців.
Користуючись лінійним аналізом стійкості, не важко показати, що новий вигляд витісняє старі тільки в тому випадку, якщо
Послідовність, в якій види заповнюють екологічну нішу, представлена на малюнку 3.6.
Мал. 3.6. Послідовне заповнення екологічної ніші різними видами .
Ця модель дозволяє додати точним кількісний сенс твердженню про те, що «виживає найбільш пристосований», в рамках завдання про заповнення заданої екологічної ніші .
3.3.2 СИСТЕМА «ЖЕРТВА - ХИЖАК»
Розглянемо систему, що складається з двох видів, - це «жертва» і «хижак» (наприклад, зайці і лисиці), то еволюція системи і її самоорганізація виглядають інакше, ніж у попередньому випадку.
Хай в біологічній системі є дві популяції - «жертви» - кролики (К), і «хижаків» - лисиць (Л), чисельністю До і Л .
Проведемо тепер міркування, яке дозволить нам пояснити існування дисипативних структур .
Кролики (К) поїдають траву (Т). Припустимо, що запас трави постійний і невичерпний. Тоді, одночасна наявність трави і кроликів сприяють необмеженому зростанню кролячої популяції . Цей процес можна символічно зобразити так:
Кролики + Трава ® Більше кроликів
До + Т ® 2К
Той факт, що в країні кроликів завжди є в достатку трави, цілком аналогічний безперервному підведенню теплової енергії в завданні з осередками Бенара. Незабаром процес, в цілому, виглядатиме як дисипативний (багато в чому аналогічно процесу Бенара ).
Реакція «Кролики - Трава» відбувається спонтанно у напрямі збільшення популяції кроликів, що є прямим наслідком другого початку термодинаміки.
Але в нашу картину, де мирно пустують кролики, прокралися хижі лисиці (Л), для яких кролики є здобиччю . Подібно до того, як у міру поїдання трави кроликів стає більше, за рахунок поїдання кроликів зростає число лисиць:
Лисиці + Кролики ® Більше лисиць
Л + До ® 2Л
У свою чергу лисиці, як і кролики є жертвами - цього разу людини, точніше кажучи відбувається процес
Лисиці ® Хутра
Кінцевий продукт - Хутра, не грає безпосередньої ролі в подальшому ході процесу . Цей кінцевий продукт можна, проте, розглядати як носій енергії, що виводиться з системи, до якої вона була на початку підведена (наприклад, у вигляді трави).
Таким чином, в екологічній системі також існує потік енергії - аналогічно тому, як це має місце в хімічній пробірці або біологічній клітці.
Абсолютно ясно, що насправді відбуваються періодичні коливання чисельності популяції кроликів і лисиць, причому за наростанні чисельності кроликів слідує наростання чисельності лисиць, які змінялися зменшенням чисельності кроликів, таким же різким зниженням чисельності лисиць, що супроводжується, потім підвищеним підйомом чисельності кроликів і так далі (мал. 3.7).
Мал. 3.7. Зміна чисельності популяцій кроликів і лисиць з часом. Наявність періодичності означає виникнення екологічної структури.
З часом чисельність обох популяцій міняється відповідно до послідовного проходження точок графіка . Через деякий час (конкретне значення залежить від швидкості поїдання лисицями кроликів, а так само від швидкості розмноження обох видів) весь цикл починається знов.
Поведінка популяцій при різних ступенях плодючості, а так само різних здібностях уникати винищування можна вивчити кількісно за допомогою програми : ПОПУЛЯЦІЯ (у додатку).
Ця програма реалізує вирішення рівнянь для дисипативної структури «кролики - лисиці». Результат рішення зображується графічно . Вирішується система диференціальних рівнянь
Тут букви До, Л, Т - означають відповідно кількість кроликів, лисиць, трави ; коефіцієнти k1, k2, k3 - позначають відповідно швидкість народження кроликів, швидкість поїдання кроликів лисицями і швидкість загибелі лисиць.
У програмі знадобиться уточнити значення відносин (приблизно рівне 1), постійну кількість трави (що так само приймається зазвичай рівним 1), початкові значення популяції кроликів і лисиць (зазвичай 0,4), тривалість циклу (типове значення 700) і крок по осі часу (зазвичай рівний 1).
Програма популяції - це графік. Він показує поведінку популяцій при різних ступенях плодючості, а так само різних здібностях уникати винищування.
Абсолютно ясно, що насправді відбуваються періодичні коливання чисельності популяції кроликів і лисиць, причому за наростанні чисельності кроликів слідує наростання чисельності лисиць, які змінялися зменшенням чисельності кроликів, таким же різким зниженням чисельності лисиць, що супроводжується, потім підвищеним підйомом чисельності кроликів і так далі, тобто видно, що система само організовуватиметься.
ВИСНОВОК
Ми бачили, що безповоротність часу тісно пов'язана з неустойчивостями у відкритих системах . І.Р. Прігожін визначає два часи. Одне - динамічне, таке, що дозволяє задати опис руху крапки в класичній механіці або зміну хвилевій функції в квантовій механіці . Інший час - нове внутрішні час, який існує тільки для нестійких динамічних систем . Воно характеризує стан системи, пов'язаний з ентропією.
Процеси біологічного або суспільного розвитку не мають кінцевого стану . Ці процеси неограниченны . Тут, з одного боку, як ми бачили, немає якої-небудь суперечності з другим початком термодинаміки, а з іншого боку - чітко видно поступальний характер розвитку (прогресу) у відкритій системі. Розвиток зв'язаний, взагалі кажучи, з поглибленням нерівнованості, а значить, в принципі з удосконаленням структури . Проте з ускладненням структури зростає число і глибина неустойчивостей, вірогідність біфуркації .
Успіхи вирішення багатьох завдань дозволили виділити в них загальні закономірності, ввести нові поняття і на цій основі сформулювати нову систему поглядів - синергетику . Вона вивчає питання самоорганізації і тому повинна давати картину розвитку і принципи самоорганізації складних систем, щоб застосовувати їх в управлінні. Це завдання має величезне значення, і, на нашу думку, успіхи в її дослідженні означатимуть просування в рішенні глобальних завдань : проблеми керованого термоядерного синтезу, екологічних проблем, завдань управління і інших.
Ми розуміємо, що всі приведені в роботі приклади відносяться до модельних завдань, і багатьом професіоналам, що працюють у відповідних областях науки, вони можуть показатися дуже простими . У одному вони мають рацію : використання ідей і представлень синергетики не повинне підміняти глибокого аналізу конкретної ситуації. З'ясувати, яким може бути шлях від модельних завдань і загальних принципів до реальної проблеми - справа фахівців. Стисло можна сказати так : якщо в системі, що вивчається, можна виділити один найважливіший процес (або невелике їх число), то проаналізувати його допоможе синергетика. Вона указує напрям, в якому потрібно рухатися. І, мабуть, це вже багато.
Дослідження більшості реальних нелінійних завдань було неможливе без обчислювального експерименту, без побудови наближених і якісних моделей процесів, що вивчаються (синергетика грає важливу роль в їх створенні). Обидва підходи доповнюють один одного. Ефективність застосування одного часто визначається успішним використанням іншого. Тому майбутнє синергетики тісно пов'язане з розвитком і широким використанням обчислювального експерименту.
Вивчені останніми роками прості нелінійні середовища володіють складними і цікавими властивостями. Структури в таких середовищах можуть розвиватися незалежно і бути локалізовані, можуть розмножуватися і взаємодіяти . Ці моделі можуть виявитися корисними при вивченні широкого круга явищ.
Відомо, що є деяка роз'єднаність природно наукової і гуманітарної культур. Зближення, а надалі, можливо, гармонійне взаємозбагачення цих культур може бути здійснене на фундаменті нового діалогу з природою на мові термодинаміки відкритих систем і синергетики.
ЛІТЕРАТУРА
1. Базаров І.П. Термодинаміка. - М.: Вища школа, 1991 р.
2. Гленсдорф П., Прігожін І. Термодинамічна теорія структури, стійкості і флуктуацій. - М.: Мир, 1973 р.
3. Карері Д. Порядок і безлад в структурі матерії. - М.: Мир, 1995 р.
4. Курдюшов с.П., Малінецкий г.Г. Синергетика - теорія самоорганізації. Ідеї, методи перспективи. - М.: Знання, 1983 р.
5. Николіс Р., Прігожін І. Самоорганізація в нерівноважних системах. - М.: Мир, 1979 р.
6. Николіс Р., Прігожін І. Пізнання складного. - М.: Мир, 1990 р.
7. Перовський і.Г. Лекції з теорії диференціальних рівнянь. - М.: МГУ, 1980 р.
8. Попов д.Е. Міждисциплінарні зв'язки і синергетика. - КГПУ, 1996 р.
9. Прігожін І. Введення в термодинаміку необоротних процесів. - М.: Іноземна література, 1960 р.
10. Прігожін І. Від того, що існує до того, що виникає. - М.: Наука, 1985 р.
11. Синергетика, збірка статей. - М.: Мир, 1984 р.
12. Хакен Р. Синергетика. - М.: Мир, 1980 р.
13. Хакен Р. Синергетика. Ієрархія неустойчивостей в системах, що самоорганизующихся, і пристроях . - М.: Мир, 1985 р.
14. Шелепін л.А. В далечіні від рівноваги. - М.: Знання, 1987 р.
15. Ейген М., Шустер П. Гіперцикл. Принципи самоорганізації макромолекул . - М.: Мир, 1982 р.
16. Еткинс П. Порядок і безлад в природі. - М.: Мир, 1987 г
