Между модулем кручения и модулем сдвига материала существует простое соотношение
, (13.3)
где r – радиус цилиндрической проволоки, L – ее длина.
Подвешенное на проволоке твердое тело при возникновении в системе крутильных колебаний совершает вращательные движения, к которым может быть применен основной закон динамики вращательного движения
, (13.4)
где M – вращательный момент относительно оси подвеса, J – момент инерции тела относительно той же оси, - угловое ускорение. Используя (13.1) и учитывая, что угловое ускорение направлено против углового смещения j, можно записать
. (13.5)
Из этого уравнения видно, что в рассматриваемом движении ускорение пропорционально угловой координате - смещению j и направлено противоположно ему, что является существенным признаком гармонического колебания , где w0 – циклическая частота. Поэтому w0 должен быть равен
, (13.6)
где Т – период колебаний.
Далее
, (13.7)
откуда
. (13.8)
Экспериментальная установка
В данной работе крутильный маятник представляет собой штангу Ш, подвешенную на проволоке А (рис. 29). Верхний конец проволоки закреплен с помощью винта В в держателе Д. Для выведения маятника из положения равновесия, т. е. для первоначального закручивания проволоки служит пусковое устройство П. Вдоль штанги могут перемещаться два груза Г одинаковой массы m. Изменяя расстояния l от грузов до центра штанги, можно изменять момент инерции маятника, а вместе с этим и период колебаний маятника.
Для того, чтобы из выражения (13.8) найти модуль кручения f материала проволоки, необходимо исключить неизвестный момент инерции J. Для этого в работе определяются два периода колебаний маятника при разных моментах инерции
, (13.9)
откуда
. (13.10)
Момент инерции крутильного маятника складывается из моментов инерции грузов 2ml2 и суммарного момента инерции штанги и проволоки j
. (13.11)
Для исключения j вычтем J1 из J2
. (13.12)
Подставляя сюда из соотношения (13.10) значение , получаем
. (13.13)
Подставив, наконец, это выражение в уравнение (13.7), находим модуль кручения
. (13.14)
Для модуля сдвига получается выражение
. (13.15)
Проведение эксперимента
Измерения
1. Подвешивают стержень крутильного маятника на выбранную проволоку. Надевают на концы штанги грузы Р. Наблюдая за положением равновесия штанги с грузами и понемногу перемещая грузы, уравновешивают штангу в горизонтальном положении. Измеряют радиус проволоки r и длину подвеса L. Записывают массы грузов m.
2. Сообщают маятнику вращательный импульс так, чтобы он совершал крутильные колебания с небольшой амплитудой. Для этого легким рывком отодвигают в сторону рычажок пускового механизма Н. Следят за тем, чтобы при пуске не возникали поступательные колебания.
3. Измеряют суммарное время t1 50-100 колебаний маятника. Измеряют расстояние l1 от оси вращения до середины одного из грузов.
4. Передвигают грузы в другое положение и, снова уравновесив маятник, измеряют время t2 такого же числа колебаний. Измеряют расстояние l2.
5. Если число колебаний N в первом и втором случаях одинаково, то формулы (13.14) и (13.15) можно записать через время и число колебаний
. (13.16)
Подставляют в эти формулы измеренные значения входящих в них величин и вычисляют модуль кручения f и модуль сдвига G материала проволоки.
6. Для вычисления величин погрешностей измерений можно вывести следующие формулы ,
. (13.17)
При этом принято, что погрешности измерений величин l1 и l2 одинаковы и равны Dl, а погрешности измерения t1 и t2 равны Dt.
Анализ приведенных формул показывает, что наибольший вклад в измерение модуля сдвига вносит погрешность измерения величины r. Следовательно, радиус проволоки должен быть измерен с максимально возможной точностью. Кроме того, желательно
проводить эксперимент таким образом, чтобы значения величин l1 и l2 и, соответственно, t1 и t2 как можно больше отличались друг от друга.
7. Проводят необходимые измерения и вычисляют модули кручения и модули сдвига еще для двух-трех материалов.
8. Сравнивают полученные значения модуля сдвига с табличными значениями и делают вывод о точности проделанных измерений.
ИЗУЧЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ РАСТЯЖЕНИЯ
Цель работы
Изучение зависимости величины деформации твердого тела от напряжения при деформации растяжения.
Идея эксперимента
В эксперименте подвергается растяжению металлическая проволока. Точное измерение величины деформации в зависимости от нагрузки позволяет установить основные закономерности и характеристики деформации растяжения.
Теория
Упругая деформация твердых тел описывается законом Гука
, (14.1)
где s = F/S – нормальное напряжение (отношение силы F, приложенной перпендику-
лярно поперечному сечению образца, к площади S этого сечения), e = Dl/l0 – относительная деформация (отношение удлинения Dl к первоначальной длине l0 образца), Е – модуль упругости (модуль Юнга). Заметим, что s численно равно энергии, приходящейся на 1м3 деформируемого материала.
Модуль Юнга характеризует упругие свойства твердых тел при деформации растяжения – сжатия. Он численно равен величине напряжения, которое вызывает изменение длины образца вдвое, если деформация при этом остается упругой. С другой стороны, модуль Юнга можно понимать как величину, численно равную объемной энергии деформации при удвоении размеров образца.
Закон Гука справедлив лишь для идеально упругих тел. Для реальных же тел наблюдаются различные отклонения от этого закона. На рис. 30 представлена характерная диаграмма растяжения твердого тела. Строгая пропорциональность между относительным удлинением и напряжением наблюдается лишь при сравнительно небольших нагрузках, на участке 0А.
Максимальное напряжение sп, при котором еще выполняется закон Гука, называется пределом пропорциональности.
Максимальное напряжение sуп, при котором еще не возникают заметные остаточные деформации (относительная остаточная деформация не превышает 0,1 %), называется пределом упругости. Ему соответствует точка В на диаграмме деформации.
Предел текучести – это напряжение, которое характеризует такое состояние деформируемого тела, после которого удлинение возрастает без увеличения действующей силы (горизонтальный участок ВС).
Пределом прочностиsпр (точка D) называется напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, выдерживаемой телом перед разрушением.
Отклонения от закона Гука в области напряжений, не превосходящих предела упругости, объединяются общим понятием неупругости. Проявлением неупругости являются, например, упругие последействия и упругий гистерезис, подлежащий экспериментальному наблюдению в данной работе.
Явление упругого последействия заключается в изменении со временем деформационного состояния при неизменной величине напряжения. В этом случае после приложения нагрузки к образцу деформация возникает не мгновенно, а продолжает увеличиваться с течением времени (прямое упругое последействие); также и после снятия нагрузки: деформация образца исчезает не мгновенно, а продолжает уменьшаться во времени (обратное упругое последействие).
Площади, ограниченные кривой нагрузки и двумя абсциссами, соответствующими двум значениям относительной деформации, пропорциональны работе А внешних сил или, что тоже, потенциальной энергии Еп при упругом деформировании образца. Это следует из расчета элемента площади DQ под кривой
, (14.2)
где с – коэффициент пропорциональности, DW1 – объемная плотность энергии деформации образца. Коэффициент пропорциональности с равен объемной плотности энергии деформации, приходящейся на единицу площади, ограниченной графиком, и имеет размерность Дж/клетку.
Площадь под всей кривой нагрузки соответствует объемная плотность энергии W1, а площади под всей кривой разгрузки – объемная плотность энергии W2.
Если к образцу прикладывать сначала возрастающее напряжение, а затем производить разгрузку, то на графике s = f(e) кривая нагрузки не будет совпадать с ветвью разгрузки. При полном цикле нагрузки – разгрузки график образует фигуру, называемую петлей гистерезиса. Площади петли пропорциональна объемная плотность поглощенной энергии упругости DW, перешедшей в тепло.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
