,
где ri – расстояние от оси вращения до i-той элементарной массы Dmi.
Если тело имеет правильную геометрическую форму и постоянную плотность по всему объему, суммирование может быть заменено интегрированием по всему объему
.
Для расчета моментов инерции тел, имеющих простую геометрическую форму (диск, стержень, квадрат и т.д.), обычно пользуются готовыми формулами (Приложение 3).
В случаях, когда расчет моментов инерции тел затруднен, применяют различные способы их измерения. Ряд таких способов рассмотрен в данном практикуме. В настоящей работе предлагается энергетический подход к определению момента инерции.
Маховое колесо (рис. 10) состоит из маховика А, жестко закрепленного на горизонтальном валу В. На вал наматывается шнур, к концу которого прикреплен груз массой m, под действием силы тяжести которого вал может раскручиваться. При вращении любого тела возникают моменты сил, препятствующих его вращению. Эти моменты создаются, в основном, силами трения в опорах и, частично, силой сопротивления воздуха. Последний в данной работе не учитывается из-за его малости. Величина момента силы трения Мтр в опорах может быть установлена, например, из условия равновесия М - Мтр =0, а также по потере энергии вращающегося тела, как это сделано в данной работе. При падении с высоты h1 потенциальная энергия груза mgh1 идет на увеличение кинетической энергии поступательного
движения самого груза mv2/2, на увеличение кинетической энергии вращательного движения маховика и вала прибора Jw2/2 и на совершение работы А = Мтрj по преодолению трения в опорах. По закону сохранения энергии
, (4.1)
где j1 – угловое перемещение вала в опоре, соответствующее перемещению h1 груза.
Движение груза равноускоренное, без начальной скорости, поэтому
, (4.2)
где t – время опускания груза с высоты h1. Угловая скорость махового колеса
, (4.3)
где r – радиус вала В. Момент силы трения Мтр устанавливается следующим образом. Колесо, вращаясь по инерции, поднимает груз на высоту h2<h1, на которой потенциальная энергия будет равна mgh2. Изменение потенциальной энергии при движении груза равно работе по преодолению момента силы трения в опорах, т.е.
. (4.4)
Откуда
. (4.5)
Выражая угловой путь (j1 + j2) через линейный (h1 + h2) и радиус вала r, получаем
. (4.6)
Это выражение является рабочей формулой для измерения Мтр. Подставляя в формулу (4.1) значения v, w, Мтр из (4.2), (4.3), (4.6), получаем рабочую формулу для определения момента инерции махового колеса
. (4.7)
Экспериментальная установка
При подготовке к измерению махового колеса шнур наматывается на вал виток к витку. К концу шнура прикреплена платформа известной массы, на которую накладываются грузы из набора к установке. Для измерения высоты падения груза h1 и высоты его поднятия h2 рядом с установкой укреплена масштабная линейка. Время падения груза измеряется с помощью ручного или стационарного электронного секундомера.
Проведение эксперимента
Задание 1. Измерение момента инерции махового колеса и момента силы трения
Измерения
1. Штангенциркулем измеряют радиус вала.
2. Высоту падения груза h1 во всех опытах можно брать одной и той же. Поэтому ее можно предварительно измерить как расстояние между заранее выбранным верхним
положением груза и его положением при полном разматывании шнура.
3. Наматывают шнур на вал, поднимая груз до выбранной отметки. На платформу кладут один груз из набора. Измеряют время падения груза до полного разматывания шнура.
4. Измеряют высоту h2, на которую поднимается груз после разматывания шнура.
5. Опыт с одним грузом повторяют не менее трех раз. Затем выполняют измерения с двумя и тремя грузами. Все данные заносят в таблицу 4.1 отчета.
Обработка результатов
1. По формулам (4.6) и (4.7) для каждого значения массы вычисляют момент силы трения в опорах и момент инерции махового колеса, подставляя средние значения времени t и высоты h2 .
2. Находят среднее значение момента инерции махового колеса. Не имеет смысла находить среднее значение момента силы трения, так как при разных нагрузках на вал он должен иметь разные значения.
3. Погрешности измерения момента инерции предлагается оценить для опыта с одним из грузов. Полученное значение относительной погрешности момента инерции можно применить к среднему значению момента инерции. Величины систематических погрешностей измерений высот h1 и h2 следует брать, исходя из реальных условий их измерения. Погрешности измерений масс платформы и грузов равны ±0,5г.
4. Анализируют вклад погрешностей измерений всех величин в общую погрешность и указывают, какая из величин должна быть измерена с наибольшей точностью.
Задание 2. Вычисление момента инерции махового колеса
Необходимо рассчитать момент инерции махового колеса, исходя из его конструкции и геометрических размеров. Плотность железа принять равной 7,8 г/см3. Погрешность этого расчета можно не определять. Рассчитанное значение момента инерции сравнивают с измеренным.
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА ПРИ УДАРЕ
Цель работы
Ознакомиться с явлением удара на примере соударения подвешенных на нитях шаров.
Идея эксперимента
Исследование упругого и неупругого удара шаров позволяет экспериментально проверить законы сохранения импульса и энергии, на базе которых выведены рабочие формулы, а также установить некоторые закономерности ударов. Проводится сопоставление теоретических выводов и экспериментально полученных результатов.
Теория
Удар – совокупность явлений, возникающих при кратковременном приложении к телу внешних сил, связанных со значительным изменении его скорости за очень краткий промежуток времени. Удар обычно протекает в течение тысячных или даже миллионных долей секунды. Удар называется центральным и прямым, если при ударе центры тяжести тел лежат на линии удара, а их относительная скорость параллельна линии удара. В зависимости от упругих свойств тел, характер удара может изменяться от абсолютно упругого до абсолютно неупругого. Рассеивание энергии при ударе, т.е. переход механической энергии в другие виды, характеризуется коэффициентом восстановления скорости kск или коэффициентом восстановления энергии kэ.
Коэффициент восстановления скорости определяется как отношение модуля относительной скорости тел после удара к модулю относительной скорости тел до удара
, (5.1)
где v1, v2 – скорости тел до удара, u1, u2 – скорости тел после удара.
Коэффициент восстановления энергии определяется как отношение суммарной кинетической энергии тел после удара к суммарной кинетической энергии тел до удара
. (5.2)
Нетрудно убедиться, что для абсолютно упругого удара kэ=1 и kск=1, а для абсолютно неупругого удара kск=0. В реальных ударах 0<kэ<1 и 0<kск<1. Величина коэффициентов восстановления зависит от физических свойств материалов соударяющихся тел, от их формы, а для неупругого удара также в сильной степени зависит от масс соударяющихся тел.
В данной работе изучается центральный удар двух шаров, подвешенных на нитях. Опыты будут ставиться так, что один из шаров до удара покоится.
Упругий удар шаров
Обозначим массы шаров m1 и m2, скорости шаров до удара и , скорости шаров после удара и соответственно. К абсолютно упругому соударению шаров применим как закон сохранения импульса, так и закон сохранения механической энергии
. (5.3)
Решение этой системы уравнений позволяет найти скорости шаров после удара
и , (5.4)
или, разделив числитель и знаменатель этих выражений на m1:
и , (5.5)
где a = m2/m1 – отношение масс шаров.
Величина a всегда положительна, поэтому второй шар после удара всегда движется в ту же сторону, куда двигался первый шар до удара. Первый же шар после удара может продолжать движение в ту же сторону, что и до удара, если его масса больше массы второго шара (a<1), или же отскакивать, если его масса меньше массы второго шара (a>1). В случае равенства масс шаров (a=1), первый шар после удара останавливается, а второй шар, неподвижный до удара, начинает двигаться со скоростью первого шара (обмен скоростей).
Отношение кинетической энергии , переданной во время удара первоначально покоящемуся шару, к кинетической энергии ударяющего шара определяется соотношением
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
