Зеркальные ядра 1H3 и 2Не3 можно рассматривать как ядра, образующие изобарный дублет. Для этих ядер изотопический спин может принимать значения 1/2 или 3/2, так как Т = ±1/2. Однако значение Т=3/2 должно быть отброшено, поскольку при Т=3/2 существовали бы устойчивые системы из трех протонов или трех нейтронов. Оказывается, что для основных состояний всех ядер с нечетным А вплоть до 17Cl33 T=1/2.
Такие ядра, как 4Ве10, 5В10, 6С10, образуют изотопический триплет, соответствующий трем возможным значениям проекции изотопического спина Т=1, причем ядру 4Ве10. соответствует Т= – 1, 5В10 — Т = 0 и 6С10 – Г = + 1.
Протон и нейтрон можно рассматривать как частицы, образующие нуклонный дублет. Изотопический спин t нуклона равен 1/2, причем протонному состоянию соответствует компонента Т = +1/2, а нейтронному Т = — 1/2 Это позволяет выразить заряд Z нуклона (Z равен единице для протона и нулю для нейтрона) через -компоненту изотопического спина:
Эта формула может быть обобщена на случай, когда система состоит из нескольких нуклонов, получим:
Таким образом, заряд ядра выражается через Т и число нуклонов, входящих в состав ядра.
Обменные силы
Явление насыщения и короткодействующий характер ядерных сил впервые были объяснены на основе предположения об обменном характере ядерных сил, т. е. что эти силы возникают между двумя частицами благодаря обмену третьей частицей. Такой частицей в случае взаимодействия нуклонов является, по-видимому, мезон. Если состояние двух взаимодействующих нуклонов зависит от их пространственных r1, r2 и спиновых s1, s2 координат, то подобный обмен может осуществляться тремя различными способами.
1) Нуклоны могут обмениваться пространственными координатами, сохраняя неизменными спиновые переменные. Эта возможность была рассмотрена Майорана. Силы, возникающие при таком взаимодействии, получили название сил Майорана.
2) Возможен обмен нуклонов спиновыми переменными при неизменных пространственных координатах. Этот вариант был рассмотрен Бартлеттом. Силы взаимодействия нуклонов при таком обмене получили название сил Бартлетта.
3) Возможен одновременный обмен спиновыми и пространственными координатами. Возникающие при этом обменные силы известны под названием сил Гейзенберга.
Формальное описание обменного взаимодействия осуществляется путем введения в гамильтониан системы таких операторов, которые, действуя на волновую функцию, вызывают перестановку координат или перестановку спинов, либо и тех и других одновременно в зависимости от характера обменных сил.
В случае обменных сил Майорана оператор энергии взаимодействия может быть представлен в виде произведения V(r)PM, где V(r) — функция, зависящая от расстояния между нуклонами, а Pm — оператор, меняющий местами пространственные координаты, входящие в волновую функцию:
В случае, если система состоит только из двух нуклонов, оператор Майорана Pm представляет собой оператор инверсии: РмР, и уравнение Шредингера в ц-системе приобретает вид (r = rl — г2)
Случаю сил Бартлетта соответствует оператор Рб, действующий на волновую функцию следующим образом:
Уравнение Шредингера для системы, состоящей из двух частиц, в этом случае может быть записано в таком виде:
Наконец, оператор сил Гейзенберга Рг обладает следующим
свойством:
Уравнение Шредингера для двухнуклонной системы в этом случае имеет вид:
Отметим, между прочим, что обычные (не обменные) силы в теории ядра иногда называются силами Вигнера.
Указывая вид операторов Майорана, Бартлетта и Гейзенберга, мы предполагали, что их координатная часть V(r) зависит только от расстояния между взаимодействующими нуклонами. В этом случае обменные силы будут центральными, благодаря чему не смогут возникать состояния, являющиеся суперпозицией состояний с различными . Поэтому введение o6менных сил, координатная часть которых обладает центральной симметрией, не может привести к асимметрии поля ядерных сил и, в частности, объяснить возникновение электрического квадрупольного момента у дейтрона; для описания последнего следует ввести еще тензорный потенциал.
Сами по себе тензорные силы не приводят к насыщению , в то время как его могут объяснить силы Майорана и Гейзенберга; поэтому тензорные силы обычно комбинируются с операторами обменных сил ).
Остановимся теперь на рассмотрении свойств различных обменных сил. Рассмотрим сначала силы Майорана, которым соответствует оператор Pм. Действие Pм на функцию (r,s1,s2) на ( –r,s1,s2) эквивалентно изменению знака компонент радиуса-вектора r, соединяющего частицы, т. е. эквивалентно замене (r,s1,s2) на ( –r,s1,s2). Поскольку V(r) зависит только от абсолютной величины r (поле обладает центральной симметрией), можно, используя свойство четности волновой функции, считать, что . B таком случае уравнение (4.14) имеет вид:
Из уравнения (4.17) следует, что для четных значений оператор потенциальной энергии ничем не отличается от оператора потенциальной энергии «обыкновенных» сил — сил Вигнера. Этот вывод имеет большое значение для теории соударения двух нуклонов, так как при столкновении медленно движущихся частиц, когда наблюдается практически только s-рассеяние, невозможно определить, являются ли ядерные силы обменными — силами Майорана или же «обыкновенными» — силами Вигнера. Получить сведения о характере ядерных сил можно, лишь если наблюдается не только s-, но и р-рассеяние. В случае сил Майорана при р-рассеянии (=1) потенциал взаимодействия меняет знак, т. е. вместо притяжения, наблюдающегося при s-рассеянии, при р-рассеянии будет иметь место отталкивание. Это означает, что знак фазового сдвига , описывающего р-рассеяние, противоположен знаку соответствующему s-рассеянию. Знаки же фаз и могут быть определены из экспериментов по рассеянию.
При рассеянии нейтронов, энергия которых не превосходит нескольких Мэв, практически наблюдается только s-рассеяние, не позволяющее установить обменного характера ядерных сил. Поэтому необходимо исследовать
рассеяние более высоких порядков, наблюдающееся только при
высоких энергиях частиц.
В случае сил Бартлетта, если допустить, что волновая функция может быть представлена в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от пространственных координат нуклонов r=r+r, а другая — от спиновых переменных, очевидно; Pb будет действовать только на спиновую функцию. Последняя, как известно, симметрична относительно перестановки спиновых переменных, если спин s системы, состоящей из нейтрона и протона, равен единице, и антисимметрична, если s=0.
Поэтому уравнение Шредингера в случае наличия сил Бартлетта может быть представлено в виде
и отличается от уравнения с «обыкновенным» потенциалом тем, что потенциал имеет различный знак при s=0 и при s=l. Из опытов по рассеянию нейтронов протонами известно, что в три-плетном и в синглетном состояниях системы нейтрон — протон наблюдается рассеяние, которое может быть объяснено силами притяжения, хотя величина этих сил (глубина потенциальной ямы) оказывается различной. Это обстоятельство наряду с тем, силы Бартлетта, не приводят к насыщению, позволяет утверждать, что ядерные силы не могут быть только силами Бартлетта.
После замечаний, сделанных относительно сил Майорана и Бартлетта, мы можем сразу записать уравнение Шредингера для сил Гейзенберга:
Отсюда видно, что знак потенциала зависит от того, является ли l+s четным или нечетным числом. В частности, при s-рассеянии нейтронов протонами (=0) знак ( — l)i+s+1V(r) должен быть различным в триплетном и синглетном состояниях. Это также свидетельствует, что ядерные силы не могут быть только силами Гейзенберга.
Различное взаимодействие в триплетном и синглетном состояниях системы протон — нейтрон может быть объяснено, если, например, предположить, что обменные силы представляют собой «смесь» сил Гейзенберга и Майорана. В таком случае оператор потенциальной энергии будет иметь вид
где g — некоторый параметр, который следует выбрать так, чтобы получалось необходимое для объяснения рассеяния взаимодействие в триплетном и синглетном состояниях. При использовании модели прямоугольной ямы ее глубина оказывается ~20 Мэв для триплетногро состояния и ~11,5 Мэв для синглетного. Легко убедиться, что для получения такой глубины следует положить g0,25. Следовательно, для объяснения рассеяния можно допустить, что обменные силы на 25% являются силами Гейзенберга и на 75'% —силами Майорана.
Однако последнее замечание не означает, что комбинация сил Гейзенберга и Майорана является единственно возможной. В частности, можно было бы получить подходящую величину взаимодействия в триплетном и синглетном состояниях дейтрона, предположив, что ядерные силы являются комбинацией сил Вигнера и Майорана. Опыты по рассеянию быстрых нуклонов заставляют сомневаться в том, что комбинация таких сил может быть использована для описания ядерного взаимодействия.
Покажем, как могут быть выражены операторы PМ, РВ, РГ через операторы Паули о и операторы изотопического спина . Обратим внимание на то, что из определения операторов PМ, РВ, РГ следует, что двухкратное применение каждого из них оставляет волновую функцию неизменной. Поэтому собственные значения P, Р, Р равны единице, а собственные значения операторов PМ, РВ, РГ равны ±1.
Если снова ограничиться рассмотрением системы из двух нуклонов, то легко видеть, что такие собственные значения операторов обменных сил (±1) связаны с симметрией или антисимметрией волновой функции системы относительно перестановки переменных, характеризующих систему.
Прежде всего установим связь между оператором рб и операторами Паули и протона и нейтрона. Волновая функция триплетного состояния (s=l) симметрична относительно перестановки спиновых переменных s и s2 нуклонов, а для синглетного состояния (s=0) антисимметрична. Это означает, что
