Классическим примером метода синтеза является расчет электродов пушек Пирса с прямолинейными траекториями. На этом примере, кстати, хорошо видно, что задача синтеза естественно распадается на две части – так называемые внутреннюю и внешнюю задачу теории формирования. Действительно, мы задаем траектории электронов, находим распределение потенциала внутри пучка (в методе Пирса – внутри соответствующего диода), а затем рассчитываем (или подбираем на ванне) форму фокусирующего электрода и анода вне пучка, обеспечивающие требуемое распределение потенциала.
Однако решение задачи по Пирсу предполагает, что анод не имеет отверстия. Поэтому, как только вводится в рассмотрение отверстие в аноде, положение резко изменяется: вблизи анода распределение потенциала и ход электронных траекторий становятся совсем не теми, которые заложены в расчет. Появляется так называемая анодная линза, которая изменяет распределение потенциала в пушке.
Имеет большой теоретический и практический интерес разработка последовательных методов синтеза систем формирования электронных потоков, на основании которых можно было бы быстро рассчитывать устройства, обеспечивающие пучки с заданным ходом траекторий.
Впервые метод синтеза в достаточно полной и последовательной форме был разработан Г. А. Гринбергом. Он записывает уравнения движения заряженной частицы в натуральной системе координат, т. е. в такой ортогональной системе, оси которой совпадают с направлениями касательной, главной нормали и бинормали к траектории в каждой ее точке. Такая запись позволяет решать как обратную, так и прямую задачу электронной оптики, т. е. либо по заданным электрическому и магнитному потенциалам внешних фокусирующих полей найти траектории пучка, либо по заданным траекториям найти внешние фокусирующие поля.
Уравнения Гринберга обладают большой общностью, обычно употребляемые уравнения параксиальной электронной оптики получаются из них как частный случай. Они позволяют провести подробный теоретический анализ систем фокусировки с криволинейной осью и решить ряд практических задач. В теории Гринберга рассматриваются только узкие пучки заряженных частиц и не учитывается его собственный объемный заряд.
Важный шаг в развитии метода синтеза был сделан В.Т. Овчаровым, который для нахождения решения внутренней и внешней задачи теории формирования предложил использовать криволинейную ортогональную систему координат. Выбор этой системы производится таким образом, чтобы одна из ее координатных линий совпадала с заданными траекториями, либо чтобы электронные траектории лежали на одной из координатных поверхностей. Введение такой надлежащим образом выбранной криволинейной системы координат позволяет свести задачу о нахождении потенциала внутри пучка электронов к решению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. При таком подходе вся система формирования рассматривается как единое целое.
Как и всякая теория, теория синтеза систем формирования имеет определенные ограничения, связанные с необходимостью введения упрощающих предположений, и имеет свои трудности как в расчетном отношении, так и в отношении решения внешней задачи, то есть форм электродов и магнитных полей.
Основным недостатком ЭОС рассчитанных методом Синтеза является сложность формы вычисленных фокусирующих электродов и их не технологичность. Упростить сложную синтезную форму фокусирующих электродов можно используя расчет ЭОС методом Анализа, который описывается ниже.
1.3.2. Расчеты ЭОС методом анализа.
При расчете ЭОС методом Анализа известными считаются геометрия электродов, образующих электронно-оптическую систему, их потенциалы и распределение плотности объемного заряда в области, ограниченной контуром электродов. Для решения задачи о распределении потенциала в системе, применяются различные методы, основным из которых является метод конечных разностей.
Суть метода состоит в замене дифференциального уравнения соответствующим ему уравнением в конечных разностях, которое получается заменой производных их приближенными выражениями через конечные разности. Пусть рассчитываемое поле удовлетворяет двумерному уравнению Пуассона:
¶2U
+
¶2U
= -
r
.
(2.2)
¶y2
¶z2
e0
Вторые производные потенциала в некоторой точке О рассматриваемой области могут быть следующим образом представлены через значения первых производных в соседних с ней точках а, b, с, d:
¶2U
»
1
[(
¶U
)a - (
¶U
)c],
ü
ý
þ
(2.3)
¶z2
h
¶z
¶z
¶2U
»
1
[(
¶U
)b - (
¶U
)d].
¶y2
h
¶y
¶y
Входящие сюда первые производные могут быть также выражены через конечные разности:
(
¶U
)a »
1
(U1 – U0),
(
¶U
)c »
1
(U0 – U3),
ü
ý (2.4)
þ
¶z
h
¶z
h
(
¶U
)b »
1
(U2 – U0),
(
¶U
)d »
1
(U0 – U4).
¶y
h
¶y
h
Здесь U1, U2, U3, U4 – значения потенциалов в точках 1, 2, 3, 4, окружающих точку О.
Подставляя (2.4) в (2.3), находим:
¶2U
»
1
[(U1–U0) - (U0–U3)],
¶2U
»
1
[(U2 – U0) - (U0 – U4)],
¶z2
h2
¶y2
h2
и
¶2U
+
¶2U
»
1
(U1 + U2 + U3 + U4 – 4U0).
¶y2
¶z2
h2
Отсюда получаем следующий конечно-разностный аналог уравнения Пуассона:
U1 + U2 + U3 + U4 – 4U0 = - h2r / e0 .
Для двумерного уравнения Лапласа соответственно имеем
U1 + U2 + U3 + U4 – 4U0 = 0
Аналогично может быть получен конечно-разностный аналог уравнения Пуассона в цилиндрических координатах:
¶2U
+
1
´
¶U
+
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
