u = kx4/3¦2,
(2.13)
5
где
¦ = 1 + S an xn ,
(2.14)
n = 1
k, an (n = 1,2,…..5) – некоторые постоянные коэффициенты.
К расчету электронной пушки.
Риc. 2.1.
Очевидно, что функция и(х), заданная выражением (2.13), всегда положительна (при положительных х) и удовлетворяет условию (2.10). В области малых х функция и(х) совпадает о функцией kx4/3, описывающей распределение потенциала в плоском диоде.
Коэффициенты а1, а2, полинома (2.13) выберем таким образом, чтобы удовлетворялось условие (2.12), а с помощью коэффициентов а3, а4, a5 удовлетворим условию (2.11).
С целью отыскания соответствующих коэффициентов а1, а2, найдем для функции и(х), заданной выражением (2.13), приближенное решение уравнения (2.2), справедливое в области малых х.
При этом решение для функции j(х) будем искать в виде
5
j(х) = 1 + S вn xn ,
(2.15)
n = 1
Из этого выражения следует, что значение j"(x) при х = 0 определяется значением в2. Поэтому для выполнения условия (2.12) необходимо найти такие значения коэффициентов an, при которых в2 обращается в нуль. С этой целью подставим выражения (2.13), (2.15) в уравнение (2.2) и, приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, выразим вn через an. Расчет показывает, что вn выражается через коэффициенты а1, а2 и для выполнения условия в2= 0 эти коэффициенты должны вычисляться по следующим формулам:
а1 = -
8
в1 ;
(2.16)
15
а2 =
361
в12 .
(2.17)
900
Как следует и (2.15), коэффициент в1 определяет значение первой производной от функции j(x) в точке x = 0, т.е. на катоде. Поэтому введем обозначение в1 = j¢k, с учетом которого формулы (2.16) и (2.17) запишутся:
а1 = -
8
j¢k ;
(2.18)
15
а2 =
361
(j¢k)2 .
(2.19)
900
Этот расчет также показывает, что в области малых х коэффициенты к, в3, в4 связаны с постоянными коэффициентами i, а3, а4 следующими соотношениями:
k = (
9
i)2/3 ;
(2.20)
4
в3 = -
33
(
74377
(j¢k)3 + а3) ;
(2.21)
37
222750
в4 = 0,228771 (j¢k)4 + 1,154518 j¢k в3 – 0,783582 а4
(2.22)
С помощью этих соотношений можно вычислить приближенное решение уравнения (2.2), справедливое в области малых х, если значения коэффициентов а3, а4 известны.
Теперь вычислим такие значения коэффициентов а3, а4, а5, при которых удовлетворяются условия (2.11). Для этого возьмем первую и вторую производные от функции и(х) и в точке х = 1 положим u(1) = 1, u'(1) = 0, u"(1) = 0. Подучим систему трех уравнений, решая которую относительно а3, а4, а5, найдем:
а3 =
119
(
9
i)-1/3 – 10 +
48
j¢k –
361
(j¢k)2 ;
(2.23)
9
4
15
300
а4 = –
187
(
9
i)-1/3 – 10 +
64
j¢k +
361
(j¢k)2 ;
(2.24)
9
4
15
900
а5 =
77
(
9
i)-1/3 +
24
j¢k –
361
(j¢k)2 – 6 .
(2.25)
9
4
15
900
Уравнения (2.13), (2.18), (2.19), (2.23) – (2.25) определяют способ задания функции и(х), при котором выполняются как условия (2.10), (2.11), налагаемые на функцию и(х), так и условие (2.12), налагаемое на функцию j (х).
После того как определена функция и(х), можно приступать к решению внутренней задачи для электростатической электронной пуша, т.е. к решению уравнения (2.2).
Будем решать уравнение (2.2) с помощью ЭВМ при следующих начальных условиях: х = х0; j = j0; j’ = j’0
Значение параметра х0 выберем малым (0,0001 + 0,01), а значения j0 и j’0 для точки х = х0 вычислим в соответствии с (2.15) по следующим формулам:
j0 = 1 + j¢k х0 + в3 х03 + в4 х04 ;
(2.26)
j’0 = j¢k х0 + 3 в3 х02 + 4 в4 х03 .
(2.27)
Значения коэффициентов в3, в4 в области малых х, должны вычисляться по формулам (2.21), (2.22), а входящие в них значения а3, а4, а5, определяются соотношениями (2.22) - (2.25).
Решение уравнения (2.2) c помощью ЭВМ будем проводить до точки xкр, в которой производная j’(х) обращается в нуль, т.е. до кроссовера пучка.
При решении внутренней задачи для электронной пушки необходимо задавать значения параметров i, j¢k. Параметр i, как следует из (2.4), характеризует первеанс рассматриваемой пушки. Параметр j¢k определяет радиус кривизны катода пушки (Rкp), который вычисляется по формуле:
Rкp
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
