Для крайней траектории пучка q2 = 1, для осевой q2 = 0, а для остальных 0< q2 <1.
Решение внутренней задачи формирования аксиально-симметричного электронного пучка сводится к решению следующего дифференциального уравнения:
j2u” + 2jj’u’ + 4ujj² + 2
j4h2 - jk4hk2
=
i
.
(2.2)
j2
Ö u
В этом уравнении j(x) - функция, описывающая крайнюю траекторию электронного пучка и по виду совпадающая c функцией j(Z/l) выражения (2.1); и(x) - функция, описывающая распределение потенциала на оси пучка; h(x) - функция, описывающая распределение магнитного поля на оси пучка; hk = h(0) - значение функции h(x) на катоде; jk = j(0) - значение функции j(x) на катоде.
Поскольку на оси пучка криволинейная система координат совпадает с цилиндрической, функции и(х) и h(x) тождественны функциям, описывающим соответственно распределение потенциала и магнитного поля на оси пучка в цилиндрической системе координат.
Штрихами в уравнении (2.2) обозначено дифференцирование по переменной х. Входящая в (2.2) постоянная вычисляется по формуле
= 0,297
H0 l
,
(2.3)
Ö V0
где Н0 - единица измерения магнитного поля, Э; l - единица измерения продольных размеров пучка, см; V0 - единица измерения потенциала, В.
Входящая в (2.2) постоянная i характеризует ток пучка. Она связана с микропервеансом пучка (по потенциалу V0) следующим соотношением:
i =
0,0605 Pm
,
(2.4)
m2
где m = (Ф0 / l); Pm - микропервеанс пучка, мкА/В3/2.
Внешняя задача в параксиальной теории формирования решается в криволинейной системе координат. При этом используется трансцендентное уравнение
V = u + m2q22 (u j j² +
2
´
j4 h2 - jk4 hk2
) +
4
j2
+
m²i
(1 – q22 + ln q22),
(2.5)
4Ö u
где V = U /U0 - потенциал иcкомой эквипотенциали.
Уравнение (2.5) решается относительно функции q2 (x) для каждого значения x.
В результате решения вычисляется функция q2*(x), определяющая форму искомой эквипотенциали в криволинейной ортогональной системе координат.
Далее делается переход от криволинейной системы координат к цилиндрической с помощью уравнения
dx
= -
m2 j(x) j¢(x)
q2 ,
(2.6)
d q2
1 + [m q2 j¢(x)]2
которое решается при следующих начальных условиях:
q2 = 0; x = x.
(2.7)
Интегрирование производится до q2 = q2*, где q2* - решение уравнения (2.5) для данного x.
Соответствующее q2* значение переменной x есть x*, которая используется дня вычисления цилиндрических координат r и z:
ì
½
í
½
î
r
= m q2* j(x)* ;
(2.8)
l
Z
= x* .
l
В большинстве практических случаев уравнения (2.5) и (2.6), определяющие внешнюю задачу, могут быть решены лишь численно с помощью электронных вычислительных машин.
Распределение потенциала внутри пучка в первом приближении параксиальной теории формировании в криволинейной системе координат определяется уравнением
V1 = u + m2q22 (u j j² +
2
j4 h2 - jk4 hk2
),
(2.9)
4
j2
где V1 - потенциал искомой эквипотенциали. Распределение плотности тока внутри пучка в криволинейной системе координат является однородным.
Расчет электростатических электронных пушек.
Выберем за единицу измерения радиальных размеров системы формирования Ф0 начальный радиус пучка, а за единицу продольных размеров пушки l - расстояние от катода до точки пролетного канала, в которой потенциал на оси пучка достигает своего постоянного значения U0 (рис. 2.1). Величину U0 примем за единицу измерения потенциала.
При решении внутренней задачи для электростатической ЭОС имеются лишь две возможности: либо задаются траектории электронов в системе, а осевое распределение потенциала вычисляется из уравнения (2.2), либо, наоборот, задается распределение потенциала на оси системы, а из уравнения (2.2) вычисляются траектории электронов.
Как распределение потенциала [Функция и(х)], так и траектория электронов [функция f(x)] в электронной пушке должны подчинятьcя определенным условиям. Условия для функции и(х):
х = 0, и(х) = 0, и’(х) = 0;
(2.10)
x ³ 1, u = 1, u’ = u” = 0.
(2.11)
Условия (2.10) обеспечивают работу катода в режиме пространственного заряда, а условия (2.11) - отсутствие электрического поля на оси в заданном пространстве пушки.
Условие для функции j(x) при х=0:
j”(х) = 0.
(2.12)
Условие (2.12), как показано в теории формирования, обеспечивает сферичность эмитирующей поверхности катода.
Рассмотрим расчет пушки по принципу, когда задается функция и(х), а вычисляется функция j(x). В этом случае функцию и(х) можно задать так, чтобы условия (2.10), (2.11) выполнялись, но дополнительно нужно еще отыскать такой способ задания функции и(х) в области малых значений х, при котором функция j(x), вычисленная из уравнения (2.2), отвечала бы условию (2.12).
Если такой способ задания функции и(х) найден, то, проведя расчет нескольких вариантов решения внутренней задачи, можно выработать рекомендации по расчету электронных пушек, формирующих пучки с заданными параметрами.
Для решения уравнения (2.2) необходимо задать начальные условия. Решение внутренней задачи для электронной пушки удобнее проводить от катода, задавая значение функций и(х) и и'(х) при х = 0. Однако в этом случае на катоде и(х) = 0 и правая часть уравнения (2.2) обращается в бесконечность. Эту трудность можно обойти следующим образом. При заданной функции и(х) найдем приближенное аналитическое решение уравнения (2.2), справедливое в области малых х. При решении уравнения (2.2) с помощью полученного таким образом аналитического выражения сделаем первый шаг с катода в точку, в которой функция и(х) уже не равна нулю. Далее можно проводить решение уравнения (2.2) с помощью ЭВМ. Будем при расчете электростатической электронной пушки задавать функцию и(х) следующим выражением:
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
