Двухосный индикаторный стабилизатор телекамер на ВОГ
Исследование влияния нежесткостей элементов гиростабилизатора на его устойчивость.
Анализ устойчивости ГС с нежесткими наружной рамой, креплением статора двигателя стабилизации к раме, с нежесткими редуктором и связью платформы с объектом стабилизации, проводим основываясь на следующей физической модели:
Рис. 1.
здесь Ji - момент инерции i-го элемента;
Ci,j - коэффициент упругости;
Di,j - коэфф. демпфирования между i и j
элементами;
K - коэффициент передачи цепи обратной
связи.
Оценку влияния каждого из входящих в модель элементов (Ji,Ci,j,Di,j) выполняем на основе анализа поведения ЛАХ разомкнутой системы, при вариациях Ji,Ci,j,Di,j.
Уравнения движения каждого из элементов модели в общем виде могут быть представлены следующим образом:
Ji×xi''+Di-1,i×(xi'-xi-1')-Di,i+1×(xi+1'-xi')+Ci-1,i× (xi-xi-1)-Ci,i+1×(xi+1 - xi) = Мi (1)
где Мi - внешний момент действующий на i-й элемент;
xi,xi', xi''- перемещение, скорость и ускорение i-го
элемента.
Расписав уравнение (1) для каждого элемента, получим следующюю систему уравнений движения модели:
J1×x1''+D01×(x1'-x0')-D12×(x2'-x1')+C01×(x1-x0)-C12×(x2-x1)= М1
J2×x2''+D12×(x2'-x1')-D23×(x3'-x2')+C12×(x2-x1)-C23×(x3-x2)= М2
J3×x3''+D23×(x3'-x2')-D34×(x4'-x3')+C23×(x3-x2)-C34×(x4-x3)= М3 (2)
J4×x4''+D34×(x4'-x3')-D45×(x5'-x4')+C34×(x4-x3)-C45× (x5-x4)= М4
J5×x5''+D45×(x5'-x4')-D56×(x6'-x5')+C45×(x5-x4)-C56×(x6-x5)= М5
Раскрыв в (2) скобки и преобразовав получаем следующий вид уравнений движения модели.
-D01×x0'-C01×x0+J1×x1''+(D01+D12)×x1'+(C01+C12)×x1-D34×x2'-
-C12×x2= М1
-D12×x1'-C12×x1+J2×x2''+(D23+D12)×x2'+(C12+C23)×x2-D23×x3'-
-C23×x3= М2
-D23×x2'-C23×x2+J3×x3''+(D23+D34)×x3'+(C23+C34)×x3-D34×x4'-
-C34×x4=М3 (3)
-D34×x3'-C34×x3+J4×x4''+(D34+D45)×x4'+(C34+C45)×x4-D45×x5'-
-C45×x5= М4
-D45×x4'-C45×x4+J5×x5''+(D45+D56)×x5'+(C45+C56)×x5-D56×x6'-
-C56×x6= М5
Переписав (3) в операторной форме получаем уравнения движения модели в следующем виде.
-(D01×s+C01)×x0+(J1×s2+(D01+D12)×s+(C01+C12))×x1 -
-(D12×s+C12)×x2= М1
-(D12×s+C12)×x1+(J2×s2+(D12+D23)×s+(C12+C23))×x2-
-(D23×s+C23)×x3= К×x4
-(D23×s+C23)×x2+(J3×s2+(D23+D34)×s+(C23+C34))×x3-
-(D34×s+C34)×x4=-К×x4
-(D34×s+C34)×x3+(J4×s2+(D34+D45)×s+(C34+C45))×x4-
-(D45×s+C45)×x5= М4 (4)
-(D45×s+C45)×x4+(J5×s2+(D45+D56)×s+(C45+C56))×x5-
-(D56×s+C56)×x6= М5
Для нахождения передаточной функции разомкнутой системы по управляющему воздействию Wp(s) составим два определителя: главный - D, и характеризующий входное воздействие D1, с учетом того, что x0=0; D56=0; C56=0; C23=0.
a11 a12 0 0 0
a21 a22 a23 0 0
D= 0 a32 a33 a34 0 (5)
0 0 a43 a44 a45
0 0 0 a54 a55
где a11 = J1×s2+(D01+D12)×s+C01+C12
a12 = -D12×s-C12
a21 = a12
a22 = J2×s2+(D12+D23)×s+C12
a23 = -D23×s
a32 = a23
a33 = J3×s2+(D23+D34)×s+C34
a34 = -D34×s-C34
a43 = a34
a44 = J4×s2+(D34+D45)×s+C34+C45
a45 = -D45×s-C45
a54 = a45
a55 = J5×s2+D45×s+C45
a11 a12 0 0 0
a21 a22 a23 -K×x4 0
D1= 0 a32 a33 K×x4 0 (6)
0 0 a43 0 a45
0 0 0 0 a55
Передаточная функция разомкнутой системы определяется как:
D1 -K×(b7×s7+....+b1×s+b0)×x4
Wp(s) = = (7)
D×x4 s×(a9×s9+....+a1×s+a0)×x4
Коэффициенты ai, bi полиномов числителя и знаменателя передаточной функции Wp(s) выражаются через параметры элементов модели следующим образом:
(8)
a9=J1J2J3J4J5
a8=D01J2J3J4J5+D12J3J4J5(J1+J2)+J1(D23J4J5(J2+J3)+J2(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))
a7=C01J2J3J4J5+C12J3J4J5(J1+J2)+C34J1J2(J3J5+J4J5)+C45J1J2J3(J4+J5)+D01(D12J3J4J5+D23J4J5(J2+J3)+J2(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))+D12(D23J4J5(J1+J2+J3)+(J1+J2)(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))+J1(D23(D34J5(J2+J3+J4)+D45(J4+J5)(J2+J3))+D34D45J2(J3+J4+J5))
a6=C01(D12J3J4J5+D23J4J5(J2+J3)+J2(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))+C12(D01J3J4J5+D23J4J5(J1+J2+J3)+(J1+J2)(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))+C34(D01J2(J3J5+J4J5)+D12J5(J3+J4)(J1+J2)+J1(D23J5(J2+J3+J4)+D45J2(J3+J4+J5)))+C45(D01J2J3(J4+J5)+D12J3(J4+J5)(J1+J2)+J1(D23(J4+J5)(J2+J3)+D34J2(J3+J4+J5)))+D01(D12(D23J4J5+D34(J3J5+J4J5)+D45J3(J4+J5))+D23(D34(J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J4+J5)(J2+J3))+D34D45J2(J3+J4+J5))+D12(D23(D34(J1J5+J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J4+J5)(J1+J2+J3))+D34D45(J3+J4+J5)(J1+J2))+D23D34D45J1(J2+J3+J4+J5)
a5=C01(C12J3J4J5+C34J2(J3J5+J4J5)+C45J2J3(J4+J5)+D12(D23J4J5+D34(J3J5+J4J5)+D45J3(J4+J5))+D23(D34(J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J4+J5)(J2+J3))+D34D45J2(J3+J4+J5))+C12(C34J5(J3+J4)(J1+J2)+C45J3(J4+J5)(J1+J2)+D01(D23J4J5+D34(J3J5+J4J5)+D45J3(J4+J5))+D23(D34(J1J5+J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J4+J5)(J1+J2+J3))+D34D45(J3+J4+J5)(J1+J2))+C34(C45J1J2(J3+J4+J5)+D01(D12(J3J5+J4J5)+D23(J2J5+J3J5+J4J5)+D45J2(J3+J4+J5))+D12(D23(J1J5+J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J3+J4+J5)(J1+J2))+D23D45J1(J2+J3+J4+J5))+C45(D01(D12J3(J4+J5)+D23(J2(J4+J5)+J3(J4+J5))+D34J2(J3+J4+J5))+D12(D23(J1(J4+J5)+J2(J4+J5)+J3(J4+J5))+D34(J3+J4+J5)(J1+J2))+D23D34J1(J2+J3+J4+J5))+D01(D12(D23(D34J5+D45(J4+J5))+D34D45(J3+J4+J5))+D23D34D45(J2+J3+J4+J5))+D12D23D34D45(J1+J2+J3+J4+J5)
a4=C01(C12(D23J4J5+D34(J3J5+J4J5)+D45J3(J4+J5))+C34(D12(J3J5+J4J5)+D23(J2J5+J3J5+J4J5)+D45J2(J3+J4+J5))+C45(D12J3(J4+J5)+D23(J2(J4+J5)+J3(J4+J5))+D34J2(J3+J4+J5))+D12(D23(D34J5+D45(J4+J5))+D34D45(J3+J4+J5))+D23D34D45(J2+J3+J4+J5))+C12(C34(D01(J3J5+J4J5)+D23(J1J5+J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J3+J4+J5)(J1+J2))+C45(D01J3(J4+J5)+D23(J1(J4+J5)+J2(J4+J5)+J3(J4+J5))+D34(J3+J4+J5)(J1+J2))+D01(D23(D34J5+D45(J4+J5))+D34D45(J3+J4+J5))+D23D34D45(J1+J2+J3+J4+J5))+C34(C45(D01J2(J3+J4+J5)+D12(J1(J3+J4+J5)+J2(J3+J4+J5))+D23J1(J2+J3+J4+J5))+D01(D12(D23J5+D45(J3+J4+J5))+D23D45(J2+J3+J4+J5))+D12D23D45(J1+J2+J3+J4+J5))+C45(D01(D12(D23(J4+J5)+D34(J3+J4+J5))+D23D34(J2+J3+J4+J5))+D12D23D34(J1+J2+J3+J4+J5))+D01D12D23D34D45
a3=C01(C12(C34(J3J5+J4J5)+C45J3(J4+J5)+D23(D34J5+D45(J4+J5))+D34D45(J3+J4+J5))+C34(C45J2(J3+J4+J5)+D12(D23J5+D45(J3+J4+J5))+D23D45(J2+J3+J4+J5))+C45(D12(D23(J4+J5)+D34(J3+J4+J5))+D23D34(J2+J3+J4+J5))+D12D23D34D45)+C12(C34(C45(J1(J3+J4+J5)+J2(J3+J4+J5))+D01(D23J5+D45(J3+J4+J5))+D23D45(J1+J2+J3+J4+J5))+C45(D01(D23(J4+J5)+D34(J3+J4+J5))+D23D34(J1+J2+J3+J4+J5))+D01D23D34D45)+C34(C45(D01(D12(J3+J4+J5)+D23(J2+J3+J4+J5))+D12D23(J1+J2+J3+J4+J5))+D01D12D23D45)+C45D01D12D23D34
a2=C01(C12(C34(D23J5+D45(J3+J4+J5))+C45(D23(J4+J5)+D34(J3+J4+J5))+D23D34D45)+C34(C45(D12(J3+J4+J5)+D23(J2+J3+J4+J5))+D12D23D45)+C45D12D23D34)+C12(C34(C45(D01(J3+J4+J5)+D23(J1+J2+J3+J4+J5))+D01D23D45)+C45D01D23D34)+C34C45D01D12D23
a1=C01(C12(C34(C45(J3+J4+J5)+D23D45)+C45D23D34)+C34C45D12D23)+C12C34C45D01D23
a0=C01C12C34C45D23
b7=D34J1J2J5
b6=(C34J1J2J5+D34(D01J2J5+D12J5(J1+J2)+D45J1J2))
b5=(C01D34J2J5+C12D34J5(J1+J2)+C34(D01J2J5+D12J5(J1+J2)+D45J1J2)+C45D34J1J2+D34(D01(D12J5+D45J2)+D12D45(J1+J2)))
b4=(C01(C34J2J5+D12D34J5+D34D45J2)+C12(C34J5(J1+J2)+D01D34J5+D34D45(J1+J2))+C34(C45J1J2+D01(D12J5+D45J2)+D12D45(J1+J2))+C45D34(D01J2+D12(J1+J2))+D01D12D34D45)
b3=(C01(C12D34J5+C34(D12J5+D45J2)+C45D34J2+D12D34D45)+C12(C34(D01J5+D45(J1+J2))+C45D34(J1+J2)+D01D34D45)+C34(C45(D01J2+D12(J1+J2))+D01D12D45)+C45D01D12D34)
