b2=(C01(C12(C34J5+D34D45)+C34(C45J2+D12D45)+C45D12D34)+C12(C34(C45(J1+J2)+D01D45)+C45D01D34)+C34C45D01D12)
b1=(C01(C12(C34D45+C45D34)+C34C45D12)+C12C34C45D01)
b0=C01C12C34C45
Представить передаточную функцию Wp(s) в виде произведения полиномов не выше второго порядка в числителе и знаменателе Wp(s) в аналитическом виде не представляется возможным даже теоретически, т.к. вид корней характеристических полиномов ai,bi, а, следовательно, и вид разложения на полиномы не выше второго порядка, зависит от численных значений параметров элементов модели. Поэтому исследование влияния элементов модели на устойчивость ГС проводилось численно, путем нахождения корней характеристических полиномов для каждого частного случая. Далее по полученным корням определялись полиномы не выше второго порядка по которым и строилась ЛАХ разомкнутой системы.
Все математические операции проводилось с использованием пакета “MATHCAD” с помощью которого численно определялись корни полиномов в передаточной функции разомкнутой системы Wp(s), зная которые можно представить Wp(s) в виде последовательного соединения элементарных звеньев. Это выполняется следующим образом. Пусть полиномы числителя и знаменателя Wp(s) имеют корни lai, lbi соответственно. Эти корни могут быть нулевыми, действительными и комплексно сопряженными. Каждый нулевой корень знаменателя lai=0 обеспечивает появление в составе Wp(s) интегрирующего звена Wi(s)= 1/s, соответственно lbi=0 отвечает за появление чисто дифференцирующего звена с Wi(s)= s. Каждый из действительных корней lai, lbi приносит в числитель или знаменатель соответственно выражение вида (Ti×s+1)×(1/Ti), где Ti=1/li , что соответствует появлению апериодических и дифференцирующих звеньев в составе Wp(s). Каждая пара комплексно сопряженных корней li, li* в составе числителя или знаменателя передаточной функции отвечает за появление в числителе или знаменателе соответственно выражений вида (Ti2 × s2 +2×xi×Ti×s +1)×(1/Ti2), где Ti=1 / |li| , xi=Re(li) / |li|. Таким образом, зная корни полиномов числителя и знаменателя передаточной функции можно представить её в виде:
П(si)×П(Tg×s+1)×П( Tn2 × s2 +2×xn×Tn×s +1)
Wp(s) = k × kw × (9)
П(sj)×П(Tk×s+1)×П( Tm2 × s2 +2×xm×Tm×s +1)
П(1/Ti) × П(1/Ti2)
где kw =
П(1/Ti) × П(1/Ti2)
Для численных расчетов примем базовые параметры модели характерными для ГС данного типа, которые равны следующим значениям:
J1 = 0.25 кг×м2 C01 = 1×103 Н×м/рад. D01=0.001 Н×м×с
J2 = 0.03 кг×м2 C12 = 1×103 Н×м/рад. D12=0.001 Н×м×с
J3 = 0.01 кг×м2 C23 = 0 D23=0.1 Н×м×с
J4 = 0.15 кг×м2 C34 =1×104 Н×м/рад. D34=0.001 Н×м×с
J5 = 1 кг×м2 C45 =1×103 Н×м/рад. D45=0.01 Н×м×с
К = 1000
Рассмотрим следующие варианты модели:
1) ГС с “жесткими” рамами и редуктором.
Начальные параметры модели принимают следующие знечения:
J1 = 0.25 кг×м2 C01 = 1×1020 Н×м/рад. D01= 0.001 Н×м×с
J2 = 0.03 кг×м2 C12 = 1×1020 Н×м/рад. D12= 0.001 Н×м×с
J3 = 0.01 кг×м2 C23 = 0 D23=0.1 Н×м×с
J4 = 0.15 кг×м2 C34 =1×1020 Н×м/рад. D34=0.001 Н×м×с
J5 = 1 кг×м2 C45 =1×1020 Н×м/рад. D45=0.01 Н×м×с
К = 1000
Варьируем D23 = 0.01 ... 1 H×м×с
Передаточная функция при этом имеет вид:
k × kw
Wp(s)= (10)
s × (T×s+1)
Значения постоянной времени Т, w, kw приведены в Табл.1.
Табл.1.
D23
T
w=1/T
kw
0.01
116
0.0086
150
0.1
11.6
0.086
15
1
1.16
0.86
1.5
10
0.116
8.6
0.15
Т.о. ЛАХ модели с бесконечно жесткими пружинами соответствует ЛАХ идеализированного индикаторного ГС. Постоянная времени Т апериодического звена апроксимируется формулой:
J3 +J4 +J5
Т= (11)
D23
2) ГС с “нежестким” редуктором.
Начальные параметры модели:
J1 = 0.25 кг×м2 C01 = 1×1020 Н×м/рад. D01= 0.001 Н×м×с
J2 = 0.03 кг×м2 C12 = 1×1020 Н×м/рад. D12= 0.001 Н×м×с
J3 = 0.01 кг×м2 C23 = 0 D23=0.1 Н×м×с
J4 = 0.15 кг×м2 C34 =1×104 Н×м/рад. D34=0.001 Н×м×с
J5 = 1 кг×м2 C45 =1×1020 Н×м/рад. D45=0.01 Н×м×с
К = 1000
Варьируем нежесткость редуктора С34=103 ... 107 H×м/рад.
Передаточная функция при этом имеет вид:
k × kw
Wp(s)= (12)
s × (T1×s+1)×( T22 × s2 +2×x2×T2×s +1)
Значения постоянных времени Т1, Т2, соответствующие им частоты “излома” ЛАХ w1, w1, удельный коэффициент демпфирования x2 и коэффициент передачи модели kw приведены в Табл.2. и Табл.3.
Табл.2.
C34
T1
w1
T2
w2
x2
kw
103
24.25
0.04
0.0031
323
0.016
31.36
104
24.25
0.04
0.001
103
0.005
31.36
105
24.25
0.04
3.1×10-4
3.23
0.0016
31.36
106
24.25
0.04
1×10-4
104
0.0005
31.36
Как видно из Табл.2. нежесткость редуктора влияет только на расположение колебательного звена на оси частот (Т2, w2) и коэффициент демпфирования в этом звене (x2).
Влияние демпфирования в редукторе на поведение ЛАХ определяем варьируя D34=0.001 ... 0.1 Н×м×с (при С34=104 = const.).
Табл.3.
D34
T1
w1
T2
w2
x2
kw
0.0001
25.9
0.039
0.001
103
0.0049
334.8
0.001
