Вывод уравнений динамики движения манипулятора методом Лагранжа – Эйлера отличается простотой и единством подхода. В рамках предположения о том, что звенья представляют собой твердые тела, этот подход приводит в общем случае к системе нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Уравнения Лагранжа – Эйлера обеспечивают строгое описание динамики состояния манипулятора и могут быть использованы для разработки усовершенствованных законов управления в пространстве присоединенных переменных. В меньшей степени они используются для решения прямой и обратной задач динамики. Прямая задача состоит в том, чтобы по заданным силам и моментам определить обобщенные ускорения, интегрирование которых позволяет получить значения обобщенных координат и скоростей. Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным обобщенным координатам, скоростям и ускорениям определить действующие в сочленениях манипулятора силы и моменты.
С целью получения более эффективных с вычислительной точки зрения алгоритмов можно использовать уравнения Ньютона – Эйлера. Вывод уравнений движения манипулятора методом Ньютона – Эйлера прост по содержанию, но весьма трудоемок. Результатом является система прямых и обратных рекуррентных уравнений, последовательно применяемых к звеньям манипулятора. С помощью прямых уравнений последовательно от основания к схвату вычисляются кинематические характеристики движения звеньев, такие, как линейные и угловые скорости и ускорения, линейные ускорения центров масс звеньев. Обратные уравнения позволяют последовательно от схвата к основанию вычислить силы и моменты, действующие на каждое из звеньев. Наиболее важный результат такого подхода состоит в том, что время, необходимое для вычисления обобщенных сил и моментов прямо и пропорционально числу сочленений, но не зависит от реализующейся в процессе движения конфигурации манипулятора. Это позволяет реализовывать простые законы управления манипулятором в реальном времени.
Низкая вычислительная эффективность уравнений Лагранжа – Эйлера обусловлена в основном тем, что для описания кинематической цепи используются матрицы преобразования однородных координат. Уравнения Ньютона – Эйлера обладают большей вычислительной эффективностью, что связано с их рекуррентной природой. Однако такие рекуррентные уравнения не обладают “аналитичностью”, столь полезной при синтезе управления в пространстве состояний. Для синтеза законов управления желательно иметь в распоряжении замкнутую систему дифференциальных уравнений, точно описывающих динамику движения манипулятора.
В связи с тем что для построения модели динамики переходных процессов и дальнейшего анализа полученных уравнений необходима аналитическая форма, решено использовать для получения уравнений динамики метод Лагранжа – Эйлера.
1.2 Уравнения динамики манипулятора
Уравнения Лагранжа второго рода для голономной системы с n степенями свободы, которым отвечают обобщенные координаты (j = 1,2,…,n), имеют вид
|
(j = 1,2,…,n), |
где – функция Лагранжа, разности кинетической Т и потенциальной П энергий системы; – обобщенные силы управляющих приводов, приведенные к j-ой обобщенной координате: они имеют размерность моментов, если – угол поворота, или сил, если – линейное перемещение.
С учетом того, что и , перепишем уравнение (1.1[DG2] ) в виде
|
, |
где , .
В последних равенствах через обозначены внешние обобщенные силы, вызванные весом звеньев и груза, удерживаемого в захватном устройстве. При наличии внешнего воздействия – силы , приложенной к захватному устройству, в правую часть равенства для надо добавить член , характеризующий это воздействие:
|
. |
Используем выражение (1.2[DG5] ) для вывода уравнений динамики манипулятора. Рассматривая исполнительный механизм манипулятора как систему из n твердых тел, запишем его кинетическую энергию T в виде суммы кинетических энергий звеньев:
|
. |
В свою очередь величину определим по формуле [3[DG7] ]
где – масса звена i; – скорость некоторой точки звена , принятой за полюс; – вектор радиус центра инерции звена в системе осей с ним связанных, начало которой совпадает с полюсом ; – тензор инерции звена в точке ; – вектор угловой скорости звена в принятой системе координат.
Выражение (1.5[DG9] ) принимает наиболее простой вид, если за полюс звена принять его центр инерции; величина будет равна нулю и выражение (1.5[DG10] ) упростится:
|
. |
Кроме того, в большинстве случаев звенья манипулятора представляют собой твердые тела, обладающие симметрией относительно трех ортогональных осей, проведенных через центр инерции. Напомнив правило разметки осей систем координат, связанных со звеньями, в соответствии с которым одна из осей системы совпадает с осью звена (вектором ), а две другие образуют с ней правую триаду, получим при помещении точки в центр инерции (см. рис. 1.1) оси полученной системы становятся главными осями инерции и тензор вектора в точке имеет вид диагональной матрицы
|
, |
моменты инерции относительно осей в которой определяются выражениями
|
, |
и для звеньев заданной конфигурации являются известными константами. При отсутствии осевых симметрий тензор инерции звена в точке характеризуется матрицей
|
, |
центробежные моменты в которой определяются выражениями
и также являются известными константами.
Определим вектор скорости центра инерции звена i через проекции на оси связанной с ним системы координат как
или через проекции на оси неподвижной системы осей в виде
|
. |
По аналогии с введем вектор угловой скорости звена
и запишем равенство (1.6[DG19] ) в развернутой форме для случая, когда звенья манипулятора обладают симметрией относительно главных осей инерции. Для этого подставим выражения , , из (1.7), (1.11), (1.13[DG20] ) в (1.6[DG21] ) и получим
|
. |
При использовании вектора скорости центра инерции в форме (1.14[DG23] ) выражение
|
, |
с учетом которого равенство (1.4) принимает вид
|
. |
2. Построение динамической модели переходных процессов манипулятора МРЛ-901П
2.1 Модель переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П
Модель портального манипулятора МРЛ-901П представлена на рис. 2.1.
Деформирующимися элементами в манипуляторе являются: зубчатый ремень,
обозначенный пружиной; консольная часть, на которой имеется сосредоточенная
масса m. Деформация поперечной консоли обозначена на схеме углом . Исходными данными для
расчета такой модели будут: значение подвижной массы m, плечо приложения
этой массы l, а также коэффициент натяжения зубчатого ремня, определяемый
как отношение прогиба ремня к его длине и влияющий на жесткость, и
демпфирование модуля линейного перемещения.
При остановке электроприводов подвижные массы будут продолжать движение под действием инерционных сил, в результате чего точки А и Б займут положение и соответственно, затем остановятся и под действием сил упругой деформации пружины и балки начнут совершать колебательное движения.
Рассматриваемая модель имеет три степени свободы, обозначим независимые обобщенные координаты как , и . Для описания данной модели воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода:
|
(j = 1,2,…,k), |
(2.1) |
где T - кинетическая энергия системы; Q - обобщенная сила; k - количество степеней свободы.
Кинетическая энергия системы с тремя степенями свободы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей [5]:[DG26]
|
, |
(2.2) |
Коэффициенты являются функциями координат , и .
Предположим, что обобщенные координаты отсчитываются от положения равновесия, где .
Располагая коэффициенты по степеням и пологая для упрощения записи , получим:
|
(2.3) |
Потенциальная энергия системы:
|
(2.4) |
При этом учитываем, что в положении равновесия обобщенные силы также обращаются в нуль.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
