Пусти магнитное поле локализовано в длинном соленоиде, тогда работа равняется: , но , а , и мы получаем: . Эта работа равняется энергии магнитного поля: , величина имеет смысл плотности энергии. В элементе объёма содержится энергия , а в объёме V - .
Магнитное поле обладает энергией, и плотность энергии , можно ли её высвободить? Да, конечно, если магнитное поле исчезает, то эта энергия выделяется в той или иной форме.
Создание тока в цепи с индуктивностью
Это создание тока в любой цепи, потому что любая цепь обладает индуктивностью. Имеем такую систему: батарейка, ключ, R – сопротивление цепи, L – индуктивность цепи (не обязательно, чтобы была катушка, потому что, повторяю, любая цепь обладает индуктивностью, но мы нарисуем её). У нас есть правило для замкнутого контура: . В данном случае, если ток в цепи меняется, то у нас присутствует э.д.с. батарейки, сосредоточенные там сторонние силы, а кроме того, за счёт самоиндукции развивается э.д.с. Пишем: ( - это э.д.с. самоиндукции), мы получаем такое уравнение: , или , или . Такое дифференциальное уравнение, линейное, первой степени, неоднородное, решается: . Определим А из начальных условий: , это означает, что . Мы тогда получаем окончательно: . При получаем – разумное решение, а начальная стадия – экспоненциальное нарастание:
Почему, спрашивается, когда вы включаете свет, то он вспыхивает мгновенно? Ответ такой: просто мала индуктивность. Если, например, последовательно с лампочкой поставить хорошую катушку и пустить переменный ток, то лампа вообще гореть не будет, если же подсоединить к аккумулятору, то лампочка будет медленно загораться, а зато, когда вы её выключать будете, там тоже интересная вещь произойдёт: выключение магнитного поля – это выделение энергии, гром, молния и т.д.
11
Мы закончили обсуждение квазистационарных процессов. Теперь движемся дальше, и последняя тема у нас в электричестве – нестационарные поля.
Нестационарные поля
Ток смещения
Нестационарные поля описываются полным набором уравнений Максвелла без всяких изъятий:
То, что мы до сих пор рассматривали, это четыре уравнения. Но в четвёртом было изъято слагаемое . Начнём выяснение роли этого слагаемого.
Кстати, весь набор называется «уравнения Максвелла», почему? Первое уравнение – это фактически закон Кулона; второе – закон электромагнитной индукции, который открыл Фарадей; третье – выражает тот факт, что линии магнитной индукции замкнуты, тут трудно даже указать авторство; вот, если выкинуть это слагаемое , то четвёртое уравнение – это закон Био-Савара. Что сделал Максвелл? Одну вещь: он добавил в одно уравнение это слагаемое, и весь набор получил название «уравнения Максвелла».
А теперь, вот, я не могу сказать, так ли Максвелл рассуждал, но можно привести пример, на котором это уравнение сломалось бы. Вот такой пример. Рассмотрим сферически симметричное распределение заряда, и пусть заряд растекается таким образом: скажем, имеем заряженный шар и заряд растекается из этого шара по радиальным лучам.1) А теперь спрашивается: какое магнитное поле создаёт вот такой сферически симметричный ток? Ну, поскольку у нас источник сферически симметричный, то магнитное поле должно также быть сферически симметричным. Что это означает? Картина поля должна быть такая, что, если это поле повернуть вокруг любой оси, проходящей через центр симметрии, оно должно переходить в себя. Прекрасно. Но из уравнения 3. следует, что силовые линии магнитного поля замкнуты, мы это уже обсуждали, и создать конфигурацию таких замкнутых линий, чтобы она обладала сферической симметрией, нельзя. Осевую симметрию можно, то есть, чтобы поле переходило в себя при поворотах вокруг некоторой оси, а чтобы оно переходило в себя при поворотах вокруг любой оси… Если напрячь воображение, ясно, что из замкнутых линий сферически симметричного магнитного поля создать нельзя. Из уравнения 3. следует, что для вот такого сферически симметричного тока , то есть магнитное поле не создаётся, то есть магнитное поле не создаётся.
Возьмём такой контур , контур, площадь которого перпендикулярна линиям тока. Применим вот к этому контуру уравнение 4*. – циркуляция по этому контуру не равна нулю. Почему? Потому что уравнение говорит, что циркуляция равна плотности тока, умноженной на эту площадку. Через эту площадку ток течёт, а, раз ток течёт, то циркуляция по этому контуру равна силе тока через эту площадку, во всяком случае, не ноль. Значит, получается, из третьего уравнения следует, что , а из уравнения 4*. следует, что . Оказалось, что два уравнения конкурируют применительно к этой ситуации. Какой вывод, и что, вообще говоря, верно, создаёт такая конфигурация магнитное поле или не создаёт? Соображения симметрии – это более мощные соображения, значит, верно, что , то есть выигрывает третье уравнение. Это означает, что четвёртое уравнение со звёздочкой не верно. Но, если добавить это слагаемое , тогда нет противоречий между этими двумя уравнениями.
Ещё одно соображение, повторяю, я не знаю, Максвеллу приходило это в голову или нет, но могло приходить в голову и, наверно, приходило. Для электромагнитного поля в пустоте уравнение 2. даёт: . Вот, когда пишется частная производная, имеется в виду, что контур фиксирован в пространстве, контур не движется. Смысл его такой, что, если меняется со временем (не то, что контур переехал куда-нибудь), то возникает электрическое поле. Уравнение 4*. даёт для пустого пространства , потому что в пустоте нет. Нарушается симметрия, то есть, вообще говоря, здесь было бы неплохо, если бы циркуляция по равнялась бы потоку от производной . Какая физика стоит за этим уравнением? Переменное магнитное поле создаёт электрическое поле, а переменное электрическое поле – ничего не создаёт. Вот, соображения симметрии в нынешней физике очень популярны, ну, потому что это ключ ко многим проблемам, нарушение симметрии раздражает и нуждается в объяснении. На самом деле, если мы возьмём полное уравнение 4., то настоящее уравнение в пустоте даст следующее: . Уравнение 2. Фарадей открыл экспериментально, а это – симметричное явление электромагнитной индукции – это Максвелл высосал из пальца. Никаких экспериментальных данных для этого не было, потому что, на самом деле, этот эффект очень трудно наблюдаем (константа очень мала), и практически создать переменное электрическое поле и обнаружить возникновение магнитного поля в те времена было невозможно. Можно было сыграть на очень больших производных, короче говоря, просто двигая электрическим зарядом, заметное магнитное поле не создастся, скажем, если вы этот заряд дёргаете с частотой миллион колебаний в секунду, можно мыло бы заметить магнитное поле. Если двигать заряд, согласно уравнению 4., создастся магнитное поле, но настолько маленькое при умеренных частотах, что практически его обнаружить нельзя. Максвелл написал его по аналогии, следствием оказалось существование электромагнитных волн, о которых до Максвелла никто и не помышлял. И когда примерно через двадцать лет электромагнитные волны были обнаружены, вот тогда эта Максвелловская теория и вот это уравнение 4. были признаны, наконец, и все эти построения из гипотезы превратились в теорию.
Величина (это величина, по размерности равная плотности тока) называется током смещения. Название принадлежит Максвеллу, название осталось, а аргументация пропала: ничего там не смещается, и название «ток смещения» не должно вызывать в вас никаких ассоциаций с тем, что там что-то смещается, это термин, который остался по историческим причинам.
Мораль такая: переменное электрическое поле само по себе создаёт магнитное поле. И всё замыкается! Переменное магнитное поле является источником электрического, переменное электрическое поле является источником магнитного, и уравнения в вакууме приобретают симметричный вид (отличие только в знаке перед производной, но это не столь страшное нарушение симметрии).
Введение этого тока смещения в первом примере спасает дело: на этой картине и . Короче говоря, циркуляция по любому контуру – ноль. Таким образом, четвёртое уравнение для этого сферически симметрично растекающегося тока даёт, что магнитное поле равно нулю. Эта Максвелловская поправка навела порядок, и теория стала непротиворечивой.
Закон сохранения энергии для электромагнитного поля
Я напишу уравнения Максвелла в дифференциальной форме:
Теперь делаем следующее: уравнение 2) я скалярно умножу на , уравнение 4) я скалярно умножу на :
Теперь из второго уравнения вычтем первое:
Для однородного диэлектрика . Это были наводящие соображения, на самом деле, в общем случае , точно также . Тогда уравнение приобретает такой вид: или
.
Есть теорема Гаусса, которая сводит интеграл по объёму от дивергенции к поверхностному интегралу1). Имеет место тождество , буква у меня S у меня уже занята, поэтому я пишу σ. Тогда выбираем в пространстве некоторый объём V, σ – ограничивающая его поверхность, и мы получаем такую вещь: . В пустоте тока нет, и мы получаем уравнение (9.1).
Напомню закон сохранения заряда: . Смысл какой? Если заряд убывает, то за счёт того, что он вытекает через поверхность, ограничивающую объём.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
