(*)
А теперь займёмся тем, что у нас стоит под интегралом. , вектор - это есть: , а вся подынтегральная конструкция есть полный дифференциал.
Тогда, возвращаясь к формуле (*), мы пишем:
Мы придём из точки (1) в точку (2), суммируя изменение потенциала. Мораль такая: вот у нас начальная точка , заряд переносим в точку , здесь значение потенциала j(), и работа равна . Работа по перемещению заряда из одной точки в другую равна величине заряда, умноженной на разность потенциалов.
Теперь мы имеем два описания электростатического поля. Либо мы задаём напряжённость , либо мы задаём в каждой точке потенциал j. Слова «разность потенциалов» вы должны понимать буквально – это разность. Вот синоним разности потенциалов, который употребляется в электротехнике, - напряжение. Это означает, что многие из вас склонные употреблять слова «напряжение в цепи» не знали их значения. Это синоним разности потенциалов.
Что означают слова, что напряжение городской сети 220 вольт? Вот есть две дырки (разность потенциалов между дырками 220V), если вы вырвете заряд из одной и будете с ним ходить, а потом вернёте его в другую дырку, то работа поля будет равна V. Нагляднее пример с аккумулятором: вы взяли металлический шарик с клеммы аккумулятора, положили его в карман, ходили где-то с ним и потом приложили его ко второй клемме, то работа будет такая: V.
3
Там, где у нас было напряжение и разность потенциалов, добавьте такую формулу: .
Вот точка , вот точка , эта кривая , и смысл такой: вот эта формула – универсальный железный рецепт для нахождения разности потенциалов. Если вы когда-нибудь сталкиваетесь с требованием или потребностью найти разность потенциалов между двумя точками, значит, рука должна автоматически писать эту формулу, а когда мы её напишем, потом можно думать. Слова «разность потенциалов» должны просто рефлекторно вызывать вот эту формулу.
О чём речь? В чём рецепт? Если вам надо найти разность потенциалов между одной точкой и другой, когда напряжённость поля во всём пространстве задана (вектор напряжённости поля), рецепт: соедините точку 1 с точкой 2 кривой и вычислите вот такой интеграл . Результат не зависит от выбора пути, ну, и поэтому его можно всегда выбирать наиболее разумным способом.
Ну, к примеру, что значит разумная выборка? Вот допустим у вас силовые линии поля вот такие радиальные кривые:
И вам надо найти потенциал вот точка 1 ну, а, допустим, вот точка 2. Как выбрать кривую, идущую из 1 в 2? Первая мысль, конечно, взять её вот так: провести по линейке, по ней вычислять. Мысль, конечно, быстрая, но не очень правильная, потому что во всех точках этой кривой вектор переменный и направлен ещё под углом к прямой, и угол ещё меняется – взять интеграл сложно. Зато, через точку 2 проведёте сферу и путь такой: вдоль радиуса – раз, и потом вот по этой дуге – два. Вот разумный выбор кривой. Почему? Потому что вот на этой ветке вектор всюду параллелен прямой, интеграл немедленно сводится просто к обыкновенному интегралу, а вот на этой ветке вектор всюду перпендикулярен кривой, и она никакого вклада не делает. Вот разумный выбор кривой для нахождения разности потенциалов.
Ну, это в качестве примера. Если представлять себе конкретный вид поля, то такая кривая легко находиться, учитывая, что у вас поля произвольной конфигурации, сложной, не будут попадаться, ну, вот здесь у нас в процессе занятия электродинамикой. Ну, конечно, если задано какое-нибудь такое, очень произвольное, поле, то там нет возможности выбирать кривую специальным образом, ну и тогда надо там линейку приложить, но это математическая проблема, можно посчитать. Так, ладно, всё. Следующий пункт.
Поля, создаваемые распределениями зарядов с хорошей симметрией
Ну и сразу такое определение: при достаточно хорошей симметрии напряжённость поля может быть найдена из уравнения . Значит, при достаточно хорошей симметрии поле всегда может быть найдено вот из этой интегральной теоремы. Ну, у нас это первое уравнение Максвелла. А теперь частные случаи.
1) Центральная (сферическая) симметрия. Пусть плотность заряда есть . Значит, плотность, которая, вообще, функция координат точки , зависит только от , то есть только от расстояния до начала координат, это означает, что начало координат – центр симметрии. Вот эта формулка = означает, что плотность на любой сфере радиуса r – константа, какая-то там плотность, ну, и отличная от нуля, на любой сфере она постоянна. Это означает, что распределение обладает сферической симметрией, и создаваемое им поле будет также обладать сферической симметрией. Отсюда следует, что (потенциал как функция точки) это есть . Отсюда эквипотенциальные поверхности – сферы с центром в начале координат, то есть вот на любой сфере потенциал – константа. Отсюда далее следует, что силовые линии поля, которые являются всегда ортогональными к эквипотенциальным поверхностям, силовые линии поля – вот такие радиальные лучи:
Конструкция электрического поля может быть только такая. А теперь заметьте, здесь никакой специфики электричества не было, все эти выводы получены только из соображений симметрии. Любое векторное поле имело бы такую структуру, какая бы физическая природа у него ни была. Только сила соображения симметрии очень часто позволяет делать выводы безотносительно к конкретному предмету разговора.
=, отсюда дальше следует, что напряжённость поля на любой сфере может быть представлен так: . Вот это , радиус-вектор, делённый на собственный модуль, есть единичный вектор в направлении радиус-вектора. Всё. Пишем дальше эту формулу . В качестве замкнутой поверхности, которая фигурирует в интеграле (поток вычисляется по замкнутой поверхности), выбираем сферу . Мы её (поверхность) можем брать любой, равенство от этого не зависит, но удобно взять . Пишем: . Это равенство вследствие того, что , - единичный вектор в направлении радиус-вектора (это вектор нормали к сфере, но нормаль к сфере в данной точке совпадает по направлению с радиус-вектором данной точки, эти векторы параллельны), а проекция радиус-вектора на самого себя – это его модуль, конечно, . Дальше, во всех точках сферы одно и тоже, выносим за знак интеграла: (вот это всё была математика, она к физике никакого отношения пока не имела, а физика – это следующее равенство), эта величина должна равняться интегралу от плотности заряда по объёму сферы, по которой вычисляется поток (интеграл от плотности по объёму это есть полный заряд внутри сферы): , где – заряд внутри сферы радиуса . И это утверждение верно для сферы любого радиуса. Отсюда вывод – при центральной симметрии напряжённость поля во всех точках сферы радиуса равна:
,
где - единичный вектор нормали к сфере. Эта формула, одна единственная, добивает все задачи центральной симметрии. Проблема одна – найти заряд, который находится внутри данной сферы, ну, это не очень тяжёлая проблема.
Можем немножко продолжить это дело. Вследствие того, что на любой сфере , интеграл по объёму можно свести, в принципе, к однократному интегралу, интегрируя по шаровым слоям, ну, напишу тут без подробных комментариев . Вот это объём шарового слоя радиуса толщиной . Почему я тут штрихи поставил, понятно. стоит в верхнем пределе интеграла, ну тогда, чтоб не путать переменную интегрирования с верхним пределом, там я вместо пишу . Значит, если вот эта функция предъявлена, то такой интеграл вычисляется. Так, всё, с центральной симметрией конец. Второй случай.
2) Цилиндрическая симметрия. Вводим цилиндрические координаты , переходит в . Вот у нас в цилиндрических координатах плотность есть только функция от , то есть не зависит от и не зависит от . Это означает, что имеется бесконечный цилиндр, и на поверхности цилиндра любого радиуса плотность заряда постоянна, и всё это дело продолжается до бесконечности по , вот такая ситуация. Сразу, конечно ясно, что физически это не реализуется, но в качестве некоторой идеализации это разумно. Напишем снова , значит, эквипотенциальные поверхности – это цилиндры с осью, совпадающей с осью симметрии, то есть с осью . А силовые линии лежат в плоскостях ортогональных оси . Так. В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндрическую поверхность радиуса и высотой , цилиндрическая поверхность, закрытая двумя крышками для того, чтобы она была замкнутой. Нормаль всегда берётся наружу. Из соображений симметрии ясно (напряжённость поля в любой точке цилиндрической поверхности направлена вдоль вектора , а величина зависит только от расстояния до оси симметрии). Поскольку у нас поверхность теперь задана в виде нескольких кусков, интеграл представится как сумма интегралов по этим кускам: .
Интеграл по крышкам равен нулю, потому что вектор скользит по крышкам, скалярное произведение с нормалью – ноль. .
Внутренняя начинка этого цилиндра , это интеграл по . , где - это заряд на единицу длины цилиндра радиуса , то есть это заряд лепёшки радиуса единичной толщины. Отсюда мы получаем результат:
напряжённость поля во всех точках цилиндрической поверхности радиуса .
Эта формула убивает все проблемы, связанные с цилиндрической симметрией. И, наконец, третий пункт.
3) Поле, создаваемое
равномерно заряженной плоскостью. Вот мы имеем плоскость YZ, заряженную до бесконечности. Эта плоскость заряжена с
постоянной плотностью s. s называется поверхностная
плотность заряда. Если взять элемент поверхности , то в нём будет заряд . Значит, симметрия такова,
что при сдвигах вдоль y и z ничего не меняется, это означает, что
производные по y и z от чего угодно должны равняться
нулю: . Это
означает, что потенциал есть функция x только: .
Вот такое следствие. Это означает, что любая плоскость ортогональная оси x является эквипотенциальной поверхностью.
На любой такой плоскости j=const. Силовые линии ортогональны этим плоскостям, значит силовые
линии – прямые параллельные оси x. Из соображений симметрии следует,
что, если здесь они идут вправо от плоскости, то слева они должны идти влево от
плоскости (ожидается, что имеется зеркальная симметрия).
Вопрос, на самом деле, с зеркальной симметрией не такой простой. Вот ещё до не очень давнего времени, ещё на моей памяти, считалось, что зеркальная симметрия, конечно, имеет место в природе, что нет отличия между левым и правым. Но обнаружили в 60-х гг., что на самом деле такая симметрия не выполняется, природа отличает правое от левого. Будет ещё повод об этом поговорить. Но здесь это для нас выполняется.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
