А от него мы теперь с помощью теоремы Гаусса вернёмся к интегральному уравнению: . Для однородных диэлектриков – линейная функция напряжённости поля (), вообще, для произвольного диэлектрика – это некоторая функция от напряжённости поля (). Пишем тогда , где коэффициент называется диэлектрическая восприимчивость. Значит, этот коэффициент характеризует склонность диэлектрика к поляризации. Возвращаясь к выражению для , мы получим для однородного диэлектрика: . Величина называется диэлектрическая проницаемость среды. Это безразмерная величина, большая единицы. Тогда связь между и :
Пример. Пусть мы имеем заряженный шар с зарядом +Q, помещённый в однородную бесконечную среду с диэлектрической проницаемостью . Какое поле будет существовать внутри этого диэлектрика?
Исходим из уравнения . Окружаем этот заряд сферой радиуса r. Вектор должен быть направлен по радиусу, это следствие сферической симметрии. , отсюда мы получаем: ; .
Мораль: когда мы решали такую проблему для пустоты, напряжённость поля равнялась, когда шар поместили в диэлектрик, напряжённость поля в раз меньше, чем в пустоте. Легко понять, почему это получается. Когда заряд помещают в диэлектрик, то за счёт поляризации диэлектрика заряд +Q обволакивается отрицательным зарядом -q’, который выступает на поверхности шара.
Результирующий заряд оказывается меньше, чем Q, однако, что существенно, индукция определяется только настоящим зарядом. Заряд, проступающий на диэлектрике, не влияет на индукцию (этот вектор специально так введён). На напряжённость поля влияют все заряды, в том числе и -q’.
6
Проводники в электростатическом поле
Проводники – это тела, в которых имеются свободные носители заряда, то есть заряженные частицы, которые могут свободно перемещаться внутри этого тела. Ну, обычно, употребляется слово проводник, то в качестве синонима идёт слово металл, металлы замечательны тем, что в них имеются свободные электроны. Но, на самом деле, понятие проводника шире. Вода, например, является проводником, не сама по себе чистая вода Н2О, она состоит из нейтральных молекул, и никаких там свободных частиц нет, но в воде обычно присутствует в растворённом виде соль, то есть йод, и за счёт этого практически вся вода является проводником.
Кстати, уже в связи с тем, что мы в прошлый раз рассматривали, диэлектрики. Диэлектрическая проницаемость воды очень велика по сравнению с вот такой чистой водой, поэтому, вода является очень эффективным растворителем для многих веществ, ну, скажем, для твёрдых тел, которые устроены по ионной схеме. Так, если молекулы скреплены в твёрдом теле за счёт кулоновского взаимодействия (скажем, один атом электрон приобретает, другой теряет, вот эти атомы связаны кулоновскими силами), то такие связи вода разрушает очень эффективно за счёт своей большой диэлектрической проницаемости. Положительный и отрицательный заряды обволакиваются связанными зарядами, и эти связи разрушаются. Вода в этом плане является очень хорошим растворителем.
Вода, вообще, замечательное вещество. Все тела при охлаждении сжимаются, то есть плотность растёт (при охлаждении плотность увеличивается, при нагревании падает). Вот имеется аномальное явление в этом: максимальная плотность воды при +4ОС, при температуре ниже +4ОС плотность опять падает, то есть дальнейшее падение температуры приводит к падению плотности, то есть к расширению воды. Вот это удивительное поведение связано с тем, что вода играет в нашей жизни вот такую выдающуюся роль: во-первых, хороший растворитель для различных минеральных солей, а во-вторых, вот такое аномальное поведение плотности. Если бы этого не было, то, к примеру, в водоёмах, озёрах, реках, жизни не было бы, водоёмы промерзали бы до дна, а так водоёмы не промерзают. Ну, почему промерзают? Верхний слой воды охлаждается и идёт книзу, поскольку у него больше плотность, тёплые слои снизу выталкиваются наверх и охлаждаются снова. И это охлаждение шло бы очень эффективно. На самом деле этого не происходит. Когда температура нижних слоёв +4ОС, они приобретают максимальную плотность и не всплывают. Охлаждение может идти только за счёт теплопроводности, не за счёт перемещения масс, а за счёт теплопроводности. Теплопроводность – медленный процесс, и, скажем, за зиму водоём не успевает промёрзнуть, а, вот, если бы плотность воды не вела себя так, то он бы промерзал до дна и, в конце концов, всё, что там живёт, отдавало бы концы, а так в этой воде +4ОС живёт.
Некоторые утверждения:
1. Напряжённость внутри проводника равна нулю (это в электростатическом поле). По понятной причине. Если бы существовало поле, то на заряд е действовала бы сила равная , и под действием этой силы заряды внутри проводника двигались бы (электроны в металле двигались бы). До каких пор они могут двигаться? Ясно, что вечно двигаться они не могут, ну, скажем, у нас кусок железа лежит, и в нём они двигаются, двигаются и двигаются, железо греется при этом, а вокруг ничего не происходит. Это, конечно, было бы нелепо. А происходит следующее: имеем проводник и включается внешнее электростатическое поле, заряды начинают двигаться, при этом происходит такое перемещение зарядов внутри, что их собственное поле полностью гасит внешнее приложенное поле, на этом процесс останавливается. Это перемещение при обычных мерках практически мгновенно. Значение напряжённости электрического поля внутри проводника равно нулю. Отсюда следствие
2. Потенциал внутри проводника – константа. Ну, очевидно, напряжённость – это градиент потенциала, производная от потенциала, если напряжённость – ноль (это означает, что производная – ноль), сама функция – постоянная. Потенциал во всех точках проводника одинаков. Это утверждение верно для всех точек проводника вплоть до поверхности. Отсюда мораль:
3. Поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. Ну, и отсюда:
4. Силовые линии поля ортогональны поверхности проводника.
Всё это можно резюмировать такой картинкой:
Скажем, имеем точечный заряд и проводник, внесённый в поле этого заряда. Произойдёт следующее: там, где силовые линии входят, сконцентрируется на поверхности проводника отрицательный заряд, скажем, электроны сюда подойдут, а на противоположной стороне появятся положительные заряды, это не скомпенсированные заряды ионов, из которых построена кристаллическая решётка.
Силовые линии поля будут ортогонально втыкаться в проводник, с другой стороны они будут исходить, опять же ортогонально к поверхности проводника. Ну, и, в общем-то, электрическое поле будет существенно изменено. Мы видим, что, если поверхность проводника будет внесена в поле заряда, вся конфигурация поля будет искажена. Если на проводник посадить заряд (либо снять с него часть электронов, либо насадить), этот заряд будет распределяться так, чтобы напряжённость внутри была равна нулю и чтобы поверхность проводника приняла во всех точках одинаковый потенциал.
Эту вещь полезно иметь в виду, тогда можно качественно представлять себе, как выглядит поле в окрестности заряженного проводника.
Я нарисую произвольный проводник и на него посажу заряд +q, ну, уединённый проводник (больше ничего нет). Какова будет структура поля? Соображения такие: поверхность эквипотенциальная, потенциал меняется непрерывно, значит, соседняя эквипотенциаль будет мало отличаться от этой. Вот, я могу более менее качественно нарисовать систему эквипотенциальных поверхностей. Дальше они будут так выпрямляться, и, в конце концов, на больших расстояниях орбитами будут сферы, как от точечного заряда. А теперь, силовые линии поля ортогональны этим поверхностям…
Вот такой ёж получился. Вот такая картина силовых линий.
Теперь немножко математики.
Мы имеем уравнение . В пустоте , учитывая, что , мы получаем такое уравнение: 1). Потенциал электрического поля в пустоте удовлетворяет уравнению , которое называется уравнением Лапласа.
Математически эта проблема сводится к решению такого уравнения при заданных граничных условиях, что на заданной поверхности2).
Конденсаторы
Пусть мы имеем отдельный проводник, на который посажен заряд q, этот проводник создаёт поле такой конфигурации, как на рисунке 6.2. Потенциал этого проводника одинаков во всех токах, поэтому можно говорить просто потенциал проводника, а, вообще-то, слово потенциал требует указания точки, в которой этот потенциал определяется. Можно показать, что потенциал уединённого проводника – линейная функция заряда, который на него посажен, , увеличите заряд вдвое, потенциал увеличится вдвое. Это не очевидная вещь, и я не могу привести каких-нибудь аргументов на пальцах, чтобы пояснить вот эту зависимость. Получается так, что структура поля не меняется, ну, картина силовых линий не меняется, просто растут напряжённости поля во всех точках пропорционально этому заряду, но общая картина не меняется. Ещё раз повторяю – не очевидная вещь. Ну, ладно, потенциал уединённого проводника – линейная функция заряда, . Пишем тогда , вводя коэффициент пропорциональности вот таким способом, где этот коэффициент пропорциональности С определяется геометрией проводника и называется ёмкостью уединённого проводника1). Ёмкость проводника не является его свойством, то есть на каком-то куске железа нельзя написать «ёмкость такая-то», потому что наличие или отсутствие посторонних тел вблизи меняет эту ёмкость. Его ёмкость, коэффициент пропорциональности, ёмкость отдельного проводника не является свойством этого проводника, она ещё зависит, помимо его, от наличия или отсутствия других тел. Однако, имеются устройства, которые называются конденсаторы, специальные устройства, для которых понятие ёмкости имеет однозначный смысл.
Конденсатором, вообще говоря, называется система из двух проводников, из которых один полностью охватывает другой, то есть, в идеале, конденсатор – вот такая штука:
Если на внутреннем проводнике заряд +q, а на внешнем -q. Внутри возникает электрическое поле вот такой конфигурации (силовые линии ортогональны поверхностям). И никакие внешние заряды не оказывают влияния на это поле, внешние поля не проникают внутрь проводящей полости, то есть от электростатического поля можно заэкранироваться. Хотите жить без электрического поля, вот, залезьте в железную бочку, закройтесь крышкой и всё, оно к вам туда не проникнет, скажем, транзистор у вас там в руках в этой бочке работать не будет, электромагнитные волны туда не будут проникать. Почему, кстати? А потому что внутри проводника поле равно нулю, поскольку напряжённость связана с распределением заряда на поверхности, а начинка проводника уже там не участвует, вы можете выкинуть эту начинку, получить полость, ничего от этого не изменится. Внутри проводника поле определяется только конфигурацией этих проводников и не зависит от внешних зарядов, тогда, если на внутреннем проводнике потенциал , а на внешнем , то мы снова будем иметь такую вещь, что внутренняя энергия пропорциональна заряду: , заряду q, который сидит на картинке внутри проводника. Тогда пишем: . Такое устройство называется конденсатором, и величина С называется ёмкостью конденсатора. Вот это уже свойство устройства, на нём можно написать: «ёмкость С». Конденсатор – это распространённые элементы в электричестве, в электротехнике и в радиотехнике, и на них прямо написано «ёмкость такая-то», и эта величина уже не зависит от того, что имеется вокруг. По размерности ёмкость что такое? , ёмкость в одну фараду – это ёмкость такого устройства, что, если на него посадить заряд в 1Кл (это колоссальный заряд), то разность потенциалов будет 1В. Нет таких конденсаторов на свете, на Земле просто невозможно построить такой конденсатор, чтобы он имел ёмкость в фараду, поэтому, подходя к этой ёмкости, мы будем использовать микрофарады.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
