Для расшифровки этих уравнений потребуются некоторые математические конструкции.
2
Поток вектора.
Задано некоторое поле , в какой-то точке пространства задан вектор . В окрестности этой точки выбираем площадку dS, площадку ориентированную, её ориентация характеризуется вектором . Тогда конструкция называется поток вектора через площадку dS. При этом площадка настолько мала, что вектор может считаться в пределах этой площадки постоянным.
Теперь ситуация другая. Рассмотрим некоторый кусок поверхности. Эту поверхность разбиваем на элементы. Вот, например, выделенный элемент под номером i, его площадь DSi, его нормаль . Где-то в пределах элемента выбираем вектор , сам элемент задаётся радиус-вектором , то есть какая-то точка внутри элемента имеет радиус-вектор . Сумма по всем элементам поверхности образует такую сумму: , а теперь предел обозначается так: .
Ну, это стандартный опять приём: интеграл есть предел суммы по определению, предел этой суммы называется поток вектора через поверхность S.
Так, если дует ветер, в каждой точке некоторой поверхности определён вектор скорости, тогда поток вектора скорости по этой поверхности - будет объём воздуха, проходящего через поверхность за единицу времени. Если векторное поле не поле скоростей, а нечто другое, то ничего там не течёт. Это есть некий термин, и не надо понимать его буквально.
Если поверхность замкнута, то разобьём её на маленькие элементы. Но берётся ограничение: вектор нормали выбирается наружу (выбор нормали влияет на знак). Если поверхность замкнута, то нормаль берётся наружу, а соответствующий интеграл снабжается кружочком. Это, что касается термина поток.
Если - поле скоростей, то скалярное произведение отрицательно (см. рис.2.2 цифра 1), это газ или воздух, втекающий в поверхность. А берём площадку 2, здесь поток положительный, это воздух, вытекающий из поверхности. Если мы вычислим такую штуку для потока скорости ветра через замкнутую поверхность, (это будет разность воздуха втекающего и вытекающего) и, если течение стационарное, то есть скорость со временем не меняется, то такой интеграл будет равен нулю, хотя и не всегда.
Если взять , то такая штука означает, что масса втекающего воздуха равна массе вытекающего.
Циркуляция потока.
Линии, вдоль которых направлено поле, называются силовыми линиями, а для любого векторного поля они носят название интегральных кривых. Рассмотрим некоторую кривую . Последовательно разбиваем кривую на элементы, вот один элемент, я выделяю его, маленький вектор . В пределах этого элемента определяем значение вектора , берём скалярное произведение , получаем число и суммируем по всем элементам[1]. В пределе получаем некоторое число: , которое обозначаем .
Берём замкнутую кривую (интеграл тогда будет снабжён кружочком), задаём произвольно направление, - это некоторое число, зависящее от вектора и , называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру.
Если дует ветер, то циркуляция по замкнутому контуру, не всегда правда, равна нулю. А если возьмём вихрь, то циркуляция заведомо не равна нулю.
Статическое электромагнитное поле (электростатика)
В прошлый раз я нарисовал четыре уравнения. Начнём их жевать потихоньку. И сделаем упрощения. Прежде всего, положим . от чего? От всего, то есть ничего со временем не меняется.
Особенность физики в чём состоит? Не в предмете! Все науки имеют свой предмет рассмотрения, биология - наука изучающая жизнь на Земле и т.д. Физика отличается взглядом на мир. С точки зрения электричества он характеризуется двумя векторными полями, кстати, если задать эти штуки, например, дать описание зарядов в этой аудитории, то мы сможем восстановить всю ту картинку, которую вы сейчас наблюдаете.
Итак, . И второе .
В каждой точке пространства ничего не меняется, и все заряды неподвижны, то есть все заряды прибиты просто гвоздями. Тогда уравнения принимают вид:
Вот при такой подстановке и наши четыре фундаментальные уравнения принимают такой вид.
Третье уравнение означает, что поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю, четвёртое - циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна нолю. Из этих двух уравнений следует, что . Это не очевидно, но мы ещё до этого доберёмся. Магнитное поле отсутствует. В статическом электромагнитном поле отсутствует магнитное поле, а электрическое описывается двумя уравнениями. В этих уравнениях сидят все свойства электростатического поля, то есть ничего больше не надо. И мы эти свойства сейчас извлечём.
Общие свойства электростатического поля
Прежде всего, что означают эти уравнения? Первое уравнение утверждает, что, если мы возьмём некоторую замкнутую поверхность S, V - объём этой поверхности, разбиваем поверхность на элементы, определяем в пределах каждого элемента напряжённость поля и вычисляем такую вещь , суммируем, никто нам не запрещает это сделать, это математическая вещь, физика сидит в равенстве:
(поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность) =
Таким образом, поток вектора через любую замкнутую поверхность равен заряду внутри этой поверхности.
Например, стены, пол, потолок - это замкнутая поверхность. Можем сосчитать поток через эту замкнутую поверхность и получим число, и, если это число отлично от нуля, то это означает, что здесь находится заряд. Электромагнитное взаимодействие очень сильное, и в силу этого мы имеем нейтральное вещество. Ноль получим. Это не означает, что здесь нет электрических полей, но заряда нет.
Берём замкнутый контур, вычисляем циркуляцию. Второе уравнение утверждает, что, какой бы контур мы не взяли, циркуляция равна нулю. Отсюда следует, что силовые линии электромагнитного поля не могут быть замкнутыми. Мы могли бы взять контур, совпадающий с этой линией, скалярное произведение не меняет знак, следовательно, интеграл не равен нулю. Силовые линии не могут быть замкнуты, но тогда что с ними?
Имеется некоторая область, из которой силовые линии выходят, тогда берём замкнутую поверхность S и по этой замкнутой поверхности . Это означает, что q>0.
Если наоборот, силовые линии входят в область, эту область окружаем поверхностью, тогда интеграл отрицательный. Нормаль направлена наружу, в первом случае произведение положительно, а здесь отрицательно.
Можно сказать, что силовые линии электростатического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность, но не может быть так, чтобы линия замкнулась на себя. Для магнитного поля, мы увидим дальше, что силовые линии всегда замкнуты, в отличие от электростатических, которые никогда не замкнуты.
Потенциал
Вот такое математическое утверждение: .
Вы, вот, словами должны читать сами формулы. Кстати, физику можно излагать без слов, так же, как математику. Из того, что циркуляция для любого контура равна нулю, следует, что векторное поле может быть выражено через некоторую функцию от , называемую градиентом скалярного поля : . Любому скалярному полю j можно поставить в соответствие векторное поле вот по такому рецепту. Это векторное поле называется градиентом скалярного поля j.
Смысл векторного поля. - это вектор, направление вектора это направление, в котором функция j меняется наиболее быстро. Направление вектора это направление быстрейшего изменения функции j, а величина вектора характеризует скорость изменения функции j в этом направлении. Ну, скорость по отношению к пространственному перемещению.
Температура, заведомо скалярная величина. В данной точке сунули термометр, он что-то показал, сунули в другую, он покажет другую температуру. А теперь, градиент от этого скалярного поля. Температура в данной точке такая, сместились в эту сторону на метр - другая температура, и так во все стороны, где температура выше, туда будет направлен её градиент , а величина этого вектора .
Другой пример - плотность. Имеем стационарную атмосферу. Направление градиента плотности воздуха будет по вертикали и именно сверху вниз (вниз плотность будет возрастать).
Вот смысл градиента.
Это следствие чисто математическое, это можно доказать. Что физически означает уравнение ? Какую физическую интерпретацию можем ему дать?
Рассмотрим некоторую кривую с направлением. Вот имеем электрическое поле:
Возьмём точечный заряд q и будем перемещать заряд по заданной кривой из точки (1) в точку (2). Поскольку на заряд действует сила со стороны электрического поля, работа электрического поля при перемещении заряда вдоль кривой равна: . Работа, которая совершается электрическим полем при перемещении заряда, если я взял и принёс заряд из точки (1) в точку (2), а потом принёс его обратно (контур замкнулся!). То тогда следует, что .
Работа по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю.
Это означает другое: что работа по перемещению заряда из точки (1) в точку (2) не зависит от пути перемещения.
Это, может быть, не очень очевидно. Вот я перешёл по некоторому пути из (1) в (2), поле совершило некоторую работу, кстати, эта работа положительна. Положу рельсы из точки (1) в точку (2). Поставлю на них вагончик от игрушечной железной дороги, помещу в вагончик заряд, и этот вагончик поедет, (избыток кинетической энергии перейдёт во внутреннюю). В точке (2) перевожу стрелки и пускаю вагончик по другому пути. Так вагончик будет ездить, к нему можно приделать вертушку... но известно, что циркуляция ноль, и построить вечного двигателя нельзя.
А теперь мы имеем такой математический результат: . Электростатическое поле – это градиентное поле. Эта скалярная функция , градиентом которой является напряжённость электрического поля, называется потенциалом электрического поля.
Не всякое векторное поле можно получить как градиент потенциала. Электростатическое поле представляется одной скалярной функцией координат, а не тремя, как можно было бы думать по его векторному характеру. Задать одну функцию координат – и получим картину электрического поля.
Какой физический смысл этого скалярного поля?
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
