Пусть – единичный вектор вдоль оси x. В качестве замкнутой поверхности берём цилиндр, прорезающий плоскость с двумя крышками. Напряжённости поля показаны на рисунке.
Интеграл по боковой поверхности ноль, потому что силовые линии скользят по боковой поверхности. Но как площади оснований цилиндра . Если крышки взяты на одинаковых расстояниях от плоскости, то опять вследствие симметрии - функция расстояния до плоскости, тогда мы напишем так: . Тогда мы имеем: , а это заряд, который сидит внутри нашей поверхности.
Отсюда получается: . Что мы видим, что длина цилиндра, ну, расстояние от крышек до плоскости, выпало из формулы, то есть на любом расстоянии от плоскости напряжённость поля одна и та же. Значит поле однородное. Напишем окончательно:
Эта формула автоматически учитывает и знак заряда: если. Вот эта формула даёт исчерпывающее описание поля заряженной плоскости. Если там не плоскость, а площадь конечной толщины, то поле надо разбить на тонкие пластины и вычислять.
Вот заметьте, для точечного заряда напряжённость поля убывает с расстоянием как , для цилиндра – как и для плоскости вообще не убывает.
Два последние случая практически нереализуемые. Тогда какой смысл в этих формулах? Такой: например, эта формула справедлива вблизи середины плоского заряженного куска. Строго такая формула (однородное поле заполняет всё пространство) ни в какой физической ситуации не реализуется.
Поле, создаваемое произвольным распределением заряда.
Поле точечного заряда.
Пусть имеется один точечный заряд q. Это частный случай сферической симметрии. У нас есть формула: , где – заряд внутри сферы радиуса r, но если заряд точки, то для точечного заряда , при любом r. Понятно почему, на любом радиусе внутри сферы точка остаётся точкой. И для точечного заряда . Это поле точечного заряда. Потенциал поля точечного заряда: .
Поле системы точечных зарядов. Принцип суперпозиции.
Пусть мы имеем систему зарядов , тогда напряжённость поля, создаваемая системой точечных зарядов, в любой точке равна сумме напряжённостей, создаваемых каждым из зарядов. Я мог бы сразу написать , если бы вы свободно читали формулы. Учитесь читать формулы повествовательно. Заряд умножьте на вектор , и разделите на модуль этого вектора, а что такое модуль вектора это длина. Эта вся штука даёт вектор, направленный вдоль вектора .
То, что поля складываются это совершенно не очевидно. Это следствие линейности уравнений Максвелла. Уравнения линейны по . Это означает, что, если вы нашли два решения, то они складываются. Бывают ли поля, для которых не выполняется принцип суперпозиции? Бывают. Гравитационное поле не в ньютоновской теории, а в правильной, не удовлетворяет принципу суперпозиции. Земля создаёт в некоторой точке определённую напряжённость. Луна тоже. Поставили Землю и Луну, напряжённость в точке не равна сумме напряжённостей. Уравнение поля не линейно, физически это означат, что гравитационное поле является само себе источником. Так. Всё, конец.
4
В прошлый раз мы остановились на обсуждении поля, создаваемом системой зарядов. И мы видели, что поля, создаваемые каждым зарядом в отдельности в данной точке, складываются. При этом я подчеркнул, что это не самая очевидная вещь, - это свойство электромагнитного взаимодействия. Физически оно связано с тем, что поле само для себя не является источником, формально это следствие того, что уравнения линейны. Есть примеры физических полей, которые сами для себя являются источником. То есть, если в каком-то объёме это поле есть, так оно создаёт само поле в окружающем пространстве, формально это проявляется в том, что уравнения не линейны. Я там написал формулу для напряжённости , напишем ещё формулу для потенциала.
Потенциал системы точечных зарядов.
Имеется система зарядов и т.д. И тогда для некоторой точки мы напишем такую формулу: . Значит, вот такой рецепт для потенциала. Напряжённость равна сумме напряжённостей, потенциал равен сумме потенциалов.
Замечание. Практически всегда удобнее вычислять потенциал, а не напряжённость, по понятным причинам: напряжённость – это вектор, и векторы надо складывать по правилу сложения векторов, ну, правилу параллелограмма, это занятие, конечно, более скучное, чем складывать числа, потенциал – это скалярная величина. Поэтому, практически всегда, когда мы имеем достаточно плотное распределение заряда, ищем потенциал, напряжённость поля потом находим по формуле: .1)
Поле, создаваемое произвольным ограниченным распределением заряда1).
Ну, что тут означает эпитет «ограниченный»? То, что заряд локализован в конечной области пространства, то есть мы можем охватить этот заряд замкнутой поверхностью такой, что вне этой поверхности заряда нет. Понятно, что с точки зрения физики это не ограничение, ну, и, действительно, мы имеем дело практически всегда только с ограниченными распределениями, нет такой ситуации, чтобы заряд был размазан по всей вселенной, он концентрируется в определённых областях.
Вот такая проблема: область занята зарядом, по этой области размазан электрический заряд, мы должны полностью охарактеризовать этот заряд и найти создаваемое им поле. Что значит полностью охарактеризовать распределение заряда? Возьмём элемент объёма , положение этого элемента задаётся радиус-вектором , в этом элементе сидит заряд . Для того, чтобы найти поле, нам нужно знать заряд каждого элемента объёма, это означает, что нам нужно знать плотность заряда в каждой точке. Вот эта функция предъявлена, она для нашей цели исчерпывающе характеризует распределение заряда, больше ничего знать не надо.
Пусть нас интересует поле в точке . А дальше принцип суперпозиции. Мы можем считать заряд dq, который сидит в этом элементе объёма, точечным2). Мы можем написать сразу выражение для потенциала, который создаёт этот элемент в этой точке: , это потенциал, создаваемый элементом в точке . А теперь понятно, что полный потенциал в этой точке мы найдём суммированием по всем элементам. Ну, и напишем эту сумму как интеграл: .3)
Этот рецепт срабатывает железно для любого предъявленного распределения заряда, никаких проблем, кроме вычисления интеграла, нет, но компьютер такую сумму посчитает. Напряжённость поля находится: . Когда интеграл вычислен, то напряжённость находится просто дифференцированием.
Поле на большом расстоянии от ограниченного распределения заряда.
Заодно познакомимся со стандартным приёмом получения приближённых решений. Проблема такая опять. Имеем распределение заряда1), мы теперь попробуем получить более точную формулу, не так радикально, а, вот, если уйти достаточно далеко, но ещё, когда это распределение не выглядит совсем точечным, хотим получить более точное приближение. Пусть у нас L – характерный линейный размер системы, будем считать, что , это можно оформить иначе: , это в пределах распределения, – это малая величина.
А теперь вот чем займёмся: .
Стандартный приём: когда у вас имеется сумма, в которой одно слагаемое большое, а другие маленькие, то всегда есть смысл вынести большое слагаемое за скобку и получить в сумме единицу плюс какие-то маленькие добавки, которая разлагается в ряд.
Пишем дальше: 2) . Мы избавились от корня, ну, потому что . А теперь, добывши этот результат, займёмся формулой для потенциала: 3) +. Тогда мы получаем такую формулу для потенциала:
.
Если бы мы произвели разложение поля в точке, вот я там выкинул , если ещё взять следующие поправки, то тут пошло бы слагаемое, которое характеризовало бы не дипольный момент, а, так называемый, квадрупольный момент и дальше моменты более высоких порядков. Вот сама такая процедура называется разложением по мультиполям. Мультиполь нулевого порядкам – это просто заряд, дальше, мультиполь первого порядка – это дипольный момент, дальше там квадрупольный момент. Дипольный момент задаётся вектором, квадрупольный бы момент задавался квадратной матрицей из девяти элементов, но вследствие симметрии там было бы только шесть отличных от нуля и так далее.
Это мы нашли потенциал, ну, а теперь поупражняемся в нахождении напряжённости. – это даст напряжённость поля точечного заряда, вычислим . = 1)== 2) = .
Тогда для напряжённости поля получаем:
.
Поле диполя.
Диполем называется такое распределение заряда, для которого полный заряд равен нулю, однако дипольный момент не равен нулю: . Легко предъявить такое распределение. Пусть мы имеем два одинаковых точечных заряда, но противоположных знаков. . Дипольный момент у нас был определён: . это что означает? заряд в маленьком элементе объёма dq умножается на радиус-вектор и суммируется по всем зарядам, если записать это дело через сумму, то это будет так: . Вот этот интеграл, если представить всё это как совокупность точечных зарядов, изображается вот такой суммой, каждый заряд умножается на свой радиус-вектор и всё складывается.
Между прочим, в механике, если мы брали бы массу частицы, умножали на радиус-вектор и суммировали, чтобы мы получили? Мы получили бы массу системы умноженную на радиус-вектор центра масс. Если начало координат выбрать в центре масс системы, то «дипольный момент – распределение масс» всегда равнялся бы нулю. Электрический заряд имеет разные знаки, здесь ситуация другая.
Значит, дипольный момент для нашей системы равняется: . Дипольный момент двух одинаковых по величине и противоположных по знаку зарядов – это вектор, идущий из отрицательного заряда в положительный, умноженный на заряд.
Теперь найдём электрическое поле. Пусть дипольный момент, вектор , в начале координат ориентирован вдоль оси ОХ, . Вычислим поле в точке (х,0,0).
, где .
Тогда .
Мораль такая: на оси ОХ напряжённость поля убывает как , то есть она обратно пропорциональна кубу расстояния, от точечного заряда – обратно пропорциональна квадрату расстояния. Направление вектора в точке (х,0,0) задаётся направлением вектора , то есть напряжённость направлен вдоль оси ОХ.
Теперь возьмём точку (0,у,0). . Это что означает? Что для этого диполя вектор в точке (х,0,0) такой, а здесь в точке (0,у,0) вектор - и по величине в два раза меньше, на том же самом расстоянии, х=у.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
