Электрический диполь, ориентированный таким образом, создаёт поле с такими силовыми линиями:
Вот такую структуру имеет поле диполя.
Многие молекулы обладают дипольным моментом, и с этим связаны свойства вещества, которые мы рассмотрим в следующий раз.
5
Сила, действующая на ограниченное
распределение заряда во внешнем поле
Проблема такая: имеем поле, имеем какой-то заряд, размазанный по некоторой области, локализованный заряд1). Нас интересует, какая сила будет действовать на заряженное тело, ну, или в конечном итоге, как оно будет двигаться, находясь во внешнем электрическом поле.
Вы должны, конечно, представлять, что, если это ограниченное распределение есть точечный заряд, то вы знаете, какая сила на него действует2). Наша задача найти силу, действующую на произвольное распределение заряда.
Ну, в общем-то, понятно, как это можно сделать, надо разбить распределение на совокупность точечных зарядов, находить силы, действующие на каждый из этих зарядов, и суммировать потом все силы по всему распределению. Вот такая программа. Ну, как она реализуется, мы сейчас увидим.
На точечный заряд действует сила , где , оказывается, потенциальной энергией заряда в электрическом поле (мы видели в механике, что, если сила представляется как градиент от некоторой скалярной функции, то эта функция интерпретируется как потенциальная энергия), при этом имеет место закон сохранения энергии , при этом заряд движется так: , это называется полной энергией (сумма кинетической и потенциальной энергии). Это для точечного заряда.
Потенциальная энергия ограниченного распределения заряда во внешнем поле.
Пусть имеется распределение заряда, разобьём заряд на малые элементы объёма dV, в этом элементе объёма заряд . - это потенциальная энергия заряда в элементе объёма dV, энергия элементарного заряда. Тогда вся потенциальная энергия этого распределения будет равна .
Это точная формула. Теперь мы займёмся получением приближённой формулы.
Выберем некоторую точку внутри распределения, радиус-вектор этой точки будет , радиус-вектор – это вектор, идущий из выбранной точки в этот элемент объёма, . Тогда потенциал в точке – это 1). Пока написано разложение с точностью до первых производных, дальше там пойдут слагаемые со вторыми производными и так далее, это факт математический.
В основе этого вычисления лежит следующее предположение: будем считать, что потенциал мало меняется в пределах распределения, то есть распределение не слишком велико. Это означает, что второе слагаемое много меньше первого, то есть значение потенциала в некоторой точке внутри такое-то, а добавка к потенциалу, когда мы доходим до края распределения, мала, поэтому далее слагаемые мы выкидываем вообще. Подставим теперь это дело в формулу для потенциальной энергии: 2) .
Мы добыли вот такую симпатичную формулу: , где – радиус-вектор, идущий в некоторую точку внутри распределения, это опять разложение по мультиполям.
Что это физически означает? Главный вклад в потенциальную энергию – полный заряд на значение потенциала где-то внутри распределения, поправочное слагаемое, учитывающее дипольный момент распределения (дипольный момент характеризует как там размещены друг относительно друга отрицательные и положительные заряды), и др. характеристики, учитывающие моменты более высоких порядков.
Чтобы дальше эта буква не вводила в заблуждение, перепишем результат так: .
А теперь мы можем найти силу (сила – это градиент потенциальной энергии), пишем: . И окончательно получим такой результат:
Сила, действующая на диполь во внешнем поле
Пусть q=0, но . Тогда сила равняется . Где это в физике может проявиться? Очень многие тела электрически нейтральны, то есть заряда не имеют, но имеют отличный от нуля дипольный момент. Простейший объект такого рода – молекула. Молекула – это такое образование, у которого положительные и отрицательные заряды в сумме дают ноль, но не совпадают в пространстве. Такая система обладает дипольным моментом , на который действует сила .
Кстати, легко понять, почему возникает сила, действующая на диполь. Скажем, поле создаётся положительным зарядом, имеем диполь, систему, состоящую из отрицательного заряда -q и положительного +q. Результирующая сила такая: . Если вы для такой ситуации примените формулу, то увидите, что она даст правильный результат.
Момент силы, действующей на диполь во внешнем поле
Пусть мы имеем однородное электрическое поле и диполь, который изобразим как два точечных заряда. На заряд +q действует сила , на заряд -q – сила . Если поле однородно, то эти силы в сумме дадут ноль, но момент не равен нулю. Две такие силы создают вращающий момент, вектор этого момента направлен перпендикулярно плоскости рисунка. На электрически диполь в однородном поле действует вот такой момент , этот момент сил стремится развернуть диполь так, чтобы его дипольный момент стал параллелен вектору .
Это вот что означает: если поле диполь помещён в электрическое поле , как показано на рисунке 5.5, то момент будет поворачивать его так, чтобы диполь стал параллельным , а сила будет втягивать его дальше в электрическое поле.
Теперь мы можем понять, как будет вести себя вещество в электростатическом поле.
Вещество в электростатическом поле
С точки зрения электричества, вещество делится на проводники и диэлектрики1). Проводники – это тела, в которых имеются свободные носители заряда, то есть заряженные частицы, которые могут свободно перемещаться внутри этого тела (например, электроны в металле, ионы в жидкости или газе). Диэлектрики – это тела, в которых нет свободных носителей заряда, то есть нет заряженных частиц, которые могли бы перемещаться в пределах этого диэлектрика. Поведение этих тел в электрическом поле различно, и сейчас мы эти различия рассмотрим.
Диэлектрики в электрическом поле
Диэлектрики – это тела, состоящие из нейтральных молекул. Молекулы бывают полярные (обладающие дипольным моментом) и неполярные (не обладающие дипольным моментом). Диэлектрик, состоящий из полярных молекул, во внешнем поле поляризуется, то есть приобретет дипольный момент за счёт преимущественной ориентации молекулярных диполей в направлении внешнего поля.
Вот имеем кусок диэлектрика, внешнее поле отсутствует. Дипольные моменты молекул ориентированы хаотически, и в среднем дипольный момент любого элемента объёма равен нулю (рис.5.6).
Однако, если мы поместим внешнее электрическое поле, появится преимущественная ориентация, все эти дипольные моменты сориентируются примерно так, как показано на рисунке 5.7. Они не смогут все построиться вдоль поля, потому что хаотическое тепловое движение разрушает структуру, но, по крайней мере, на фоне этого хаоса они будут все стремиться сориентироваться вдоль поля.
Диэлектрик, состоящий из неполярных молекул, также поляризуется, потому что эти молекулы приобретают дипольный момент во внешнем поле.
, однако, если мы внесём эту молекулу во внешнее электрическое поле, то внешнее поле растаскивает положительный и отрицательный заряды, и молекула приобретает дипольный момент.
Поляризация диэлектрика характеризуется вектором . Смысл этого вектора следующий: если мы возьмём элемент объёма dV, то дипольный момент этого объёма будет равен . Значение дипольного момента малого объёма диэлектрика пропорционально объёму элемента, и коэффициентом стоит вектор , короче , – это плотность дипольного момента.
Теперь немного математики. У нас имеется фундаментальное уравнение (первое уравнение Максвелла, которое связывает электрическое поле с зарядом) . Из этого интегрального закона следует дифференциальный такой: , это по теореме Остроградского-Гаусса.
Имеет место такая замечательная математическая теорема для произвольного векторного поля .
Смысл этой теоремы: имеем векторное поле, имеем замкнутую поверхность, вычисляем вектор в каждой точке поверхности, умножаем на нормаль, на площадь маленькой поверхности и суммируем, этот интеграл зависит, конечно, от поведения на поверхности, мы получили число, теперь, векторное поле ведёт себя как-то внутри этой поверхности, в каждой точке внутри вычисляем эту самую дивергенцию, получим число, интегрируем по объёму, получим равенство. Поведение вектора на поверхности, оказывается, связано с начинкой этого объёма. Оставлю вектор на поверхности прежним, а внутри я могу продеформировать это поле, но, как бы там ни деформировалось поле внутри, интеграл не изменится (хотя, в каждой точке дивергенция изменится).
Вот здесь действует такая хитрая связь поведения векторного поля на поверхности и поведения его внутри объёма..
Равенство получается как следствие теоремы Остроградского-Гаусса. Здесь справа стоит плотность заряда, значит, дивергенция напряжённости равна плотности заряда. Поляризация диэлектрика эквивалентна появлению заряда с плотностью . Это не очень очевидно. Если вектор поляризации постоянен, то никакой заряд в объёме не появляется. Вот, если вектор от точки к точке меняется, то это проявляется в том, что в данном элементе объёма появляется некий фиктивный заряд.
С учётом этого дела уравнение перепишется в таком виде , где – это плотность настоящих зарядов, а – плотность связанных зарядов, вот фиктивных зарядов, появляющихся в результате поляризации диэлектрика. Теперь мы это уравнение можем преобразовать. Умножим всё на и величину перенесём влево, мы получим такое уравнение: , где – это плотность настоящих зарядов, или . Вектор называется индукцией электрического поля, и для этой индукции мы получили вот такое замечательное уравнение: .
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
