q = rpr2l
Ф = E2prl = (1/e0) rpr2l
E = (rr)/(2e0)
Если есть e1 и e2, то e0*e1(2)
E
1
2
3
r
1 - e1 > e2;
2 - e1 = e2;
3 - e1 < e2.
14. Поле бесконечного заряженного шара (сферы):
Заряд с поверхностной плотностью g распределен по сфере радиуса R:
|
Е
|E| - const;
ФЕ = SoòEndS = E oòdS = E 4pr2 = = (1/e0) g4pR2
q = g 4pR2
Eнаружн = (gR2)/(e0r2) = q/(4pe0r2)
Eвнутр = 0
E
Er
~1/r
r
R
Заряд с поверхностной плотностью g распределен по шару радиуса R:
Ф = Е 4pr2 = (r/e0) 4/3 pR3
qнаружн = rV = r 4/3 pR3
Eнаружн = (gR2)/(e0r2) = q/(4pe0r2)
Eвнутр = (rr)/(3e0e1)
E
1
Er
2
r
R
Шар с r(r):
Eнаружн = q/(4pe0e2r2)
dq = r(r’) 4pr’ dr’
r’ – толщина внутреннего слоя;
q = 0òRr(r’) 4pr’2 dr’
Eнаружн = (4p 0òRr(r’) 4pr’2 dr’)/ /(4pe0e2r2); r
Eвнутр = (4p 0òr(r’) 4pr’2 dr’)/ /(4pe0e1r2);
Шар с полостью:
Eнаружн = (4p R1òR2r(r’) 4pr’2 dr’)/ /(4pe0e2r2); r
Eвнутр = (4p R1òr(r’) 4pr’2 dr’)/ /(4pe0e1r2).
15. Потенциал (j):
]$ поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q. ]$ точечный заряд q’, на который действует сила:
F = 1/(4pe0)*(qq’)/r2
Работа, совершаемая над зарядом q’ при перемещении его из одной точки в другую, не зависит от пути
A12 = 1ò2 F(r)dr = (qq’)/(4pe0)r1òr2dr/r2.
Иначе ее можно представить, как убыль потенциальной энергии:
A12 = Wp1 – Wp2.
При сопоставлении формул получаем, что Wp = 1/(4pe0)*(qq’)/r.
Для исследования поля воспользуемся двумя пробными зарядами qПР’ и qПР’’. Очевидно, что в одной и той же точке заряды будут обладать разной энергией Wp’ и Wp’’, но соотношение Wp/qПР будет одинаковым.
j = Wp/qПР = 1/(4pe0)*q/r называется потенциалом поля в данной точке и, как напряженность, используется для описания электрического поля.
]$ поле, создаваемое системой из N точечных зарядов. Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q’, будет равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждым из qN над q’ в отдельности:
A = i = 1åNAi, где Ai = = 1/(4pe0)*(qiq’/ri1 - qiq’/ri2), где ri1 - расстояние от заряда qi до начального положения заряда q’, а ri2 – расстояние от qi до конечного положения заряда q’.
Следовательно Wp заряда q’ в поле системы зарядов равна:
Wp = 1/(4pe0)*i = 1åN(qiq’)/ri , то
j = 1/(4pe0)*i = 1åN(qi/ri), следовательно потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
Заряд q, находящийся в точке с потенциалом j обладает энергией
Wp = qj, то работа сил поля
A12 = Wp1 –Wp2 = q(j1 - j2).
Если заряд из точки с потенциалом j удалять в бесконечность, то A¥ = qj, то j численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность.
16. Связь между напряженностью и потенциалом:
Электрическое поле можно описать с помощью векторной величины Е и скалярной величины j.
Для заряженной величины, находящейся в электрическом поле:
F = qE, Wp = qj.
Можно написать, что
E = - ¶j/¶x - ¶j/¶y - ¶j/¶z, т.е. при проекции на оси:
Ex = -¶j/¶x, Ey = -¶j/¶y, EZ = -¶j/¶z, аналогично проекция вектора Е на произвольное направление l: Еl = = -¶j/¶l, т.е. скорости убывания потенциала при перемещении вдоль направления l.
j = 1/(4pe0)*q/r = /в трехмерном пространстве/ = 1/(4pe0)*q/Ö(x2+y2+z2).
Частные производные этих функций равны:
¶j/¶x = -q/(4pe0)*x/r3;
¶j/¶y = -q/(4pe0)*y/r3;
¶j/¶z = -q/(4pe0)*z/r3.
При подстановке получаем:
E = 1/(4pe0)*q/r2.
Работа, по перемещению q из точки 1 в точку 2, может быть вычислена, как A12 = 1ò2qEdl или A12 = q(j1 - j2), приравняв их, получим j1 - j2 = 1ò2Edl. При обходе по замкнутому контуру j1 = j2, то получим: oò Edl = 0.
17. Эквипотенциальные поверхности:
Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной. Ее уравнение имеет вид j(x, y, z) = const.
При перемещении по эквипотенциальной поверхности на отрезок dl, dj = 0. Следовательно, касательная к поверхности, составляющая вектор Е, равна 0, т.е. вектор Е направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности. Т.е. линии напряженности в каждой точке перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.
Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку поля и их можно построить бесконечное множество. Их проводят таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была одинаковой (Dj = const). Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности поля.
В соответствии с характером зависимости Е от r, эквипотенциальные поверхности при приближении к заряду становятся гуще. Для однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению поля.
18. Проводники в электрическом поле:
Проводники состоят из связанных зарядов равномерно распределенных по объему проводника. Электроны проводника находятся в тепловом хаотическом движении.
]$ поле с проводником:
() 1
- + Е
- +
- + Е
- +() 2
- + Е
- +
-- + Е
- +
+ Е
- +
Напряженность внутри проводника равна 0, т.к. внутри проводника складывается некая суперпозиция напряженностей.
Если j1 - j2 = 0, то поверхность проводника эквипотенциальна, а линии напряженности всегда перпендикулярны эквипотенциальной поверхности.
Возьмем произвольную точку плоскости проводника.
t
j
Возьмем касательную к элементу поверхности t.
dj/dt = -Et, (где dj/dt = 0) вектор Е перпендикулярен плоскости в данной точке.
q
Е = 0
E ~ g
(g - поверхностная плотность)
Заряд распределен по поверхности, Е = 0, распределение неравномерно, максимальную плотность заряд имеет в местах максимальной кривизны.
Обозначим «степень кривизны» за С, то С = 1/R.
E ~ g ~ C ~ 1/R.
19. Электроемкость, конденсаторы:
Электроемкость – коэффициент пропорциональности между зарядом проводника и потенциалом, который заряд приобретает. Зависит от формы проводника и окружающих его тел.
С = q/j.
Электроемкости уединенных проводников (на него ни что не влияет):
Сфера: q
j = 1/(4pe0)*q/R
C = q/j = 4pe0R
R j
Если поместить около сферы другой проводник, то С = Dq/Dj.
-Dq
R
Dq
E+
X E-
+Dq
l
R
Dj - разность потенциалов, возникшая между проводниками.
Если l>>R, то заряд по поверхности каждой сферы распределяется равномерно.
Dj = j1 - j2
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
