Средняя мощность, выделяемая за период переменным гармоническим током, учитывая что p = I2maxR cos2(ωt) и среднее значение квадрата косинуса за период равно 1/2:
=
Такая же мощность выделяется на резисторе при протекании постоянного тока с действующим значением равным соответствующему переменному току:
P = Iд2R
Так как исходя из определения действующего значения тока мощности равны, то:
Iд =
Действующее (эффективное) значение силы переменного гармонического тока в меньше его амплитуды.
Аналогично определяется действующее (эффективное) значение переменного гармонического напряжения:
Uд =
АКТИВНОЕ, ЕМКОСТНОЕ И ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Активное сопротивление
Активным сопротивлением R называется физическая величина, равная отношению мощности к квадрату силы тока R = , что получается из выражения для мощности P = IU = I2R.
При небольших частотах практически не зависит от частоты и совпадает с электрическим сопротивлением проводника.
В цепях переменного тока резистор часто называют активным сопротивлением
Активное сопротивление – сопротивление элемента электрической цепи, в котором электрическая энергия необратимо преобразуется во внутреннюю.
Напряжение, созданное генератором на резисторе, меняется по гармоническому закону:
u = Um cos (wt)
По закону Ома сила тока в резисторе будет:
i = u/R = Um /R cos (wt) = Im cos (wt)
где Im = Um /R – амплитуда силы тока
Напряжение и сила тока а резисторе совпадают по фазе в любой момент времени.
Скин-эффект
На высоких частотах начинает проявляться «скин-эфект»(от английского skin – кожа) Электроны, создающие ток в проводнике, вытесняются к его поверхности. В результате ток течет не по всей площади поперечного сечения проводника, а лишь по его поверхностному слою. Такое уменьшение сечения, через которое течет ток, ведет к возрастанию активного сопротивления проводника.(См. формулу удельного сопротивления) Поэтому на высоких частотах проводники можно делать полыми.
Индуктивное сопротивление
Пусть в цепь переменного тока u = Um cos (ωt) включена катушка.
При изменении силы тока в катушке возникает ЭДС самоиндукции:
εsi = - L
Так как электрическое сопротивление катушки близко к нулю, то в любой момент времени ЭДС самоиндукции равна по модулю и противоположна по знаку напряжению на катушке, созданному внешним генератором:
εsi – u = 0
L = Um cos(ωt) (дифференциальное уравнение относительно i)
Решением этого уравнения ищется в виде:
i = Im sin(ωt)
Подстановка этого решения в дифференциальное уравнение дает:
L = L = ωLIm cos(ωt) = Um cos(ωt)
Следовательно, амплитуда силы тока Im в катушке связана с амплитудой переменного напряжения Um законом Ома:
Im =
Отношение амплитуды колебаний напряжения на катушке к амплитуде колебаний тока называется индуктивным сопротивлением:
xL = = ωL
Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте переменного тока.
u = Um cos (ωt)
i = Im sin(ωt) = Im cos(ωt - )
Колебания силы тока в катушке индуктивности отстают по фазе на π/2 от колебаний напряжения на ней.
Мгновенная мощность переменного тока в катушке:
p = iu = 0.5 ImUm sin (2ωt)
Среднее значение мощности на катушке за период Т равно нулю.
Элементы цепи, для которых средняя мощность переменного тока равна нулю, обладают реактивным сопротивлением.
Индуктивное сопротивление является реактивным сопротивлением.
Емкостное сопротивление
Конденсатор в цепи постоянного тока
Через конденсатор постоянный ток протекать не может, так как цепь оказывается разомкнутой. Между пластинами конденсатора нет свободных носителей заряда.
Если обкладки заряженного конденсатора соединить через нагрузку, наблюдается кратковременный ток разряда конденсатора.
Оценим время разряда конденсатора емкостью С через резистор R. В отсутствие внешней ЭДС суммарная разность потенциалов в контуре на резисторе и конденсаторе равна нулю:
UR + UC = 0 или IR + UC = 0
ток разряда: I = q’ = CU’C
Получаем дифференциальное уравнение:
IR + UC = RCU’C + UC = RC + UC =0
Изменение напряжения на конденсаторе в единицу времени:
U’C = =
где τC = RC - время релаксации R-C цепи, определяющее время разрядки конденсатора через R
Напряжение - UC характеризует полное изменение напряжения на конденсаторе при его разрядке.
Геометрически производная U’C характеризуется тангенсом угла наклона касательной в кривой UC(t).
При t = 0 касательная пересекает ось t в точке τC = RC – время релаксации R-C цепи.
При подключении разряженного конденсатора к источнику постоянного напряжения в цепи возникает кратковременный ток заряда конденсатора, который заряжает его до напряжения источника питания.
После зарядки конденсатора ток прекращается.
Время релаксации τC = RC характеризует, как время разрядки, так и время зарядки конденсатора.
Конденсатор в цепи переменного тока
Пусть в цепи переменного тока находится конденсатор. При его включение он четверть периода заряжается, потом столько же разряжается, потом то же самое, но со сменой полярности.
При изменении напряжения на конденсаторе по гармоническому закону u = Umaxcos(ωt) заряд на его обкладках равен q = Cu = UmaxC cos(ωt).
Ток в цепи возникает при изменении заряда:
i = q’ = - ωUmaxC sin(ωt) = ωUmaxC cos(ωt + ) = Imax cos(ωt + )
Аналогично случаю с катушкой амплитуда колебаний силы тока равна:
Imax = ωUmaxC
Колебания силы тока в цепи конденсатора опережают по фазе на π/2 колебания напряжения на его обкладках.
Мгновенная мощность переменного тока на конденсаторе:
p = iu = - 0.5 ImUm sin( 2ωt )
Среднее значение мощности переменного тока на конденсаторе за период Т равно нулю.
Элементы цепи, для которых средняя мощность переменного тока равна нулю, обладают реактивным сопротивлением.
Реактивное сопротивление конденсатора называется – емкостным сопротивлением.
Емкостное сопротивление конденсатора по закону Ома равно отношению амплитуды к силе тока:
XC = =
Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте.
Это позволяет использовать конденсатор в качестве частотного фильтра.
Конденсатор оказывает значительное сопротивление току малой частоты.
Постоянный ток можно рассматривать, как предельный случай переменного при ω → 0. В этом случае xC → ∞.
Для токов высокой частоты емкостное сопротивление мало.
На активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе.
На индуктивном сопротивлении фаза напряжения «опережает» ток на π/2
На емкостном сопротивлении фаза тока «опережает» напряжение на π/2
ЗАКОН ОМА ДЛЯ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА. ПОЛНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЦЕПИ
Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно подключенных резистора, катушки и конденсатора. В любой момент времени приложенное напряжение равно сумме напряжений на каждом элементе.
Так как элементы соединены последовательно, колебания силы тока во всех элементах происходят по закону i = Imax cos(ωt).
Колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на π/2 от колебаний тока, колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания тока на π/2.
Поэтому условие равенства суммы напряжений общему можно записать как:
u = URm cos(ωt) + UCm cos(ωt - ) + ULm cos(ωt + )
URm = Im R ; UCm = Im XC = Im ; UCm = Im XL = Im ωL
Воспользовавшись векторной диаграммой, можно увидеть, что амплитуда напряжений в цепи равна:
Umax = = = Imax
Проведя тригонометрические преобразования, можно показать, что мгновенное напряжение, приложенное к контуру меняется по гармоническому закону:
u = Um cos(ωt + φ)
где φ - сдвиг по фазе между напряжением и силой тока
φ = arctg
Im =
Полное сопротивление цепи обозначают Z:
Z = =
Полное сопротивление в цепи переменного тока зависит от частоты тока.
Начальную фазу j можно найти по формуле:
cos(φ) = = =
Мгновенная мощность в цепи переменного тока равна:
p = I2R = I2mR cos(ωt)
Поскольку среднее значение квадрата косинуса за период равно 1/2:
P =
Если в цепи присутствует катушка и конденсатор, то по закону Ома для переменного тока:
P = = = IU cos(φ)
Величина cos(φ) = называется коэффициентом мощности.
Если амплитуда переменного напряжения, приложенного к колебательному контуру, постоянна то амплитуда вынужденных колебаний силы тока в контуре зависит от частоты:
Im = =
Емкостное и индуктивное сопротивления зависят от частоты приложенного напряжения. Поэтому при постоянной амплитуде напряжения амплитуда силы тока зависит от частоты.
Максимальная амплитуда силы тока возникает, если:
ωL =
Это момент наступает при частота вынужденных колебаний, совпадающей с частотой собственных колебаний контура:
ω = = ω0
При таком значении частоты, при котором ω0L = , сумма напряжений на катушке и конденсаторе становится равной нулю, т.к. их колебания противоположны по фазе.
В результате, напряжение на активном сопротивлении при резонансе оказывается равным полному напряжению, а сила тока достигает максимального значения.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98
